高校勉強攻略ノート

高校勉強攻略ノート http://kadakun-toudai.seesaa.net/ 「読むこと自体が勉強になる！」・・・を目指してます！教科書が堅くてわかりにくくて苦手な方もいい勉強法が見つからない方もやる気のいまいち出ないかたもそうでない方も、一度覗いてみてください。 ja http://kadakun-toudai.seesaa.net/article/131510889.html 必要条件、十分条件今回は、必要条件、十分条件について勉強して！必要条件とか十分条件とか意味わかんないんだけど、という方も多いんじゃないかと思います「いや、簡単だろ。矢印が左向いてりゃ必要、右向いてりゃ十分なんだよ。順番的にひっくり返ってる感じな。」って覚えてる方もいるんじゃないかと思います。butしかし今回は。なんで矢印が左向いてると「必要」になって、右向いてると「十分」なんだよ、と。その辺のことをみていこうと思います。ずばり言いますよ必要条件とは、必要な条件のことで十分条件とは、十分な条件の... 命題、集合真田正大 2009-10-29T18:35:57+09:00 必要条件、十分条件について勉強して！

必要条件とか十分条件とか意味わかんないんだけど、という方も多いんじゃないかと思います

「いや、簡単だろ。矢印が左向いてりゃ必要、右向いてりゃ十分なんだよ。順番的にひっくり返ってる感じな。」って覚えてる方もいるんじゃないかと思います。

butしかし今回は。

なんで矢印が左向いてると「必要」になって、右向いてると「十分」なんだよ、と。

その辺のことをみていこうと思います。

ずばり言いますよ

必要条件とは、必要な条件のことで

十分条件とは、十分な条件のことである！！！！！

…えー、元も子もないですね。でも実は本当にこれだけなんです。

ちょっとわかりやすくするために、「条件」という言葉は「縛り（しばり）」ということで置き換えられる、ということを言っておきます。

もちろん、正しい数学用語ではないのでテストで書くと良くないですが、理解しやすくなるかと。

ではまず。

犬⇒動物

これは間違いないですよね。ロドリゲスが犬ならば、ロドリゲスは動物である。

矢印の向きで考えると、右向きなので

「犬であることは、動物であるための十分条件」ということになります。
言い換えると、「ロドリゲスが犬である、という縛り（しばり）は、ロドリゲスが動物であるためには十分な縛り」ということ。

…。

「犬であることは、動物であるための十分な縛り」って、なんとなくしっくりきません？

犬である、というだけで、動物であるためには十分ですよね。犬なんだから、そりゃ動物でしょうよ、っていう話。

じゃあ、犬であることは、動物であるための必要条件かどうかを考えてみる。

犬であるという縛りは、動物であるために、必要な縛りなのかどうか。

…これ、必要ないんですよね。犬にまで縛らなくても、猫でも馬でもアルパカでもいいわけで。

ということは、犬であることは、動物であるための必要条件ではない、ということです。

なので、犬であることは、動物であるための必要十分条件でもない。

必要十分条件とは、必要条件でなおかつ十分条件であるような奴のことだからね。

これを、数学っぽい話にすりかえてみましょう。

x＝１であることは、x²=1であるための…

…さて、何？

x＝１という条件は、x²＝１であるために、必要なのか、必要ないのか、十分なのか、不十分なのか。

どうでしょう。

見えてきました？

x＝１という条件は、x²=1が成り立つために、十分な縛りです！

何故なら。x＝１という条件（縛り）があれば、それだけでx²=1だからです！！

では、x＝１という縛りは、x²=1であるために必要なしばりなのか？

…。

そこまでの縛りは必要ないですよね。

x＝－１でもいいんだから、x＝１に縛る必要はない。

つまり、x²=1　であるためには、x＝１という縛りは、縛り過ぎなんですよ。

縛り過ぎ＝そこまでの縛りは必要ない　ということなので

x＝１は、x²=1であるための必要条件ではないです。

ということで！

つまり、十分条件とは、それだけあれば十分な条件、ということです。
ただし、十分な条件ということは、十分に縛っているということなので、縛りすぎている可能性があります。

ではまた最初の例に戻って、別のことを考えてみましょう。

動物であることは、犬であるための…さて何？

犬であるためには、動物である、という縛りだけで果たして十分なのかどうか。

…不十分ですよね。動物であるからといって、それが犬とは限らない。ライオンかもしれないしハシビロコウかもしれない。

なので、動物である、という条件は、犬であるための十分条件ではないです。

「それだけあれば十分な条件（縛り）」になってない。

…では次。

動物であるという縛りは、犬であるためには必要な縛りなのかどうか。

…実はここで、日本語で普通に使う「必要」と、「必要条件」という時の「必要」の、ニュアンスの違いが出てくるんですよ。

「十分」のほうは日本語とあんま変わらない感じで使えるんですけどね。

つまり。

動物であるという縛りは、犬であるために必要な縛りなのかどうか、って聞かれたときに

「ほ乳類である、という縛りがあれば、動物であるという縛りは必要ない！！だから動物であるという条件は、犬であるための必要な縛りではない！！」

という話になってしまう。

「ほ乳類である、という条件があれば、動物であるという条件は必要ない。だから動物であるという条件は、犬であるために必要な条件ではない。」

なんとなくそれっぽいですが…

次を見てください。

「動物である」という縛りがない＝動物でなくてよい

これも、しっくりきますよね？

「動物である」という縛りがないってことは、その縛りから解放されたわけだから、動物でなくてよい。

ではもう一度

「ほ乳類である、という条件があれば、動物であるという条件は必要ない。だから動物であるという条件は、犬であるために必要な条件ではない。」

そうはいかないんですよ。

「動物である」という条件がないと、動物でなくてもいいということになります。

犬であるためには、動物でなくてもいい…？

そんなわけないです。

なので、犬であるためには、動物であることは必要な縛り（必要条件）なんです。

じゃあ「ほ乳類であること」は？

犬であるために、ほ乳類であることは必要かどうか考えてみましょう。

今「動物でなくてもいいかどうか」を考えたのと同じように、「ほ乳類でなくてもいいかどうか」を考えてみると、わかりやすいです。

ほ乳類でなくていいわけないですね。ということで、「ほ乳類であること」は「犬である」ための必要条件です。

ということは逆に「犬である」ことは「ほ乳類である」ための十分条件ですよね。そこは大丈夫ですか？

と、いうことはですよ。

数学的に厳密ではないですが、例として

Ａ君が「今からちょっとずつヒントだしてくから、俺が今考えてるもの当ててみ。」なんて言いながら出すヒント

「漫画のキャラクター」
「全体的に青い」
「２２世紀生まれ」
「２１１２年９月３日生まれ」
「猫型ロボット」
「小学生と同居してる」
「耳がない」
「…

といったヒントは、すべてこれ「必要条件」なんですよ！！

ヒントを出すごとに、ちょっとずつ縛って可能性を絞り込んでいってるイメージね。

例えば「２２世紀生まれ」は「ド○えもん」であるために必要な条件かどうか。

ド○えもんであるためには、２２世紀生まれでなくてもいいかどうかを考える。

…ド○えもんであるためには、２２世紀生まれじゃなきゃだめですよね。

つまり２２世紀生まれである「必要がある」ということです。

「いやでも生まれたばっかのドラえもんは全体的に黄色いし耳あるし小学生と同居してないし！！！」

…そうですね。すいません。「数学的に厳密ではない」って言ったのはそこです。逃げ道がある。

そういう逃げ道があるものは、本当は「必要条件」ではありません。

…ですが、言いたいことは伝わったはず…！！

逆に、ドラえもんであることは、２２世紀生まれであるための十分条件です。

さて。

では数学的な話に戻ってみましょう。

x²=1 は　x=1であるための…

さて、何？

x²=1は、x=1であるために十分な条件か。

それだけで十分な条件になってい…

…ないですよね。

x＝１という可能性があります。縛り足りないってことです。十分に縛るにはもうちょっと縛らないといけない。

では。必要かどうかを考えてみましょう。

x²=1であることは、x=1であるために必要な条件かどうか。

x＝１であるためには、x²=1でなくてもいいかどうか。

…だめですよ。x²は１じゃないと。

つまり、x²=1 は x=1 であるための必要条件ってことになります。

矢印使うと
x=1⇒x²=1　ってことね。

…どうですか。

必要条件、十分条件っていう言葉は、ちゃんと意味的にもわかる言葉なんですよ。

…ただ、ここまで必要条件十分条件それぞれについて見分ける方法を説明してきましたが

aがbの必要条件なら、bはaの十分条件なんですよね。

逆にbがaの十分条件なら、aはbの必要条件。

つまり、どっちかが十分条件（必要条件）ってわかれば、その逆は必要条件（十分条件）って一発でわかる、ってことです。

なので、考えててわかりにくくなった場合は、これ使うと簡単になることがあるので、積極的に逆向きを考えてみましょうってことです！

ではいくつか例をあげてこの記事を終えておきましょう。

例１

x²-3x+2=0　は　x=1またはx＝２であるための

…さて、何？

x²-3x+2=0をとくと、x=1またはx＝２という答えになります。

ということは、x²-3x+2=0であることは、x＝１またはx＝２であるために、十分な縛りになってます。

x²-3x+2=0にまで縛れば、あとは勝手にx＝１or２になってくれるわけですから。十分な縛りなわけ。

では、x²-3x+2=0は、x=1or2であるために、必要な縛り？

別になくてもいいんじゃないの？

じゃあ

x=1or2であるためには、x²-3x+2=0でなくてもいい…？

これ、ダメです。x＝１のときもx＝２のときも、x²-3x+2は自動的に０に確定するので

x²-3x+2は０以外あり得ないです。

ということは、x²-3x+2=0は、x＝１またはx＝２であるために、必要な縛り、ということになります。

以上より。

x²-3x+2=0は、x=1またはx=2であるための、必要十分条件！！

方程式の解っていうのは、必要十分条件を求めてるんですよ。知ってましたか？

x²-3x+2=0⇔x=1または2

では次。

例２

ab＞0 であることは、a＞0 であるための

…

…さて、何？

ab>0って、それだけでa>0であるための十分な縛りになってる？

…なってませんよ。

aが負になってた場合でも、bが負ならab>0になっちゃいますからね。

縛り足りない、ってことです。十分条件ではない。

じゃあ、ab>0は、a>0であるために必要？

a>0であるためには、ab>0でなくてもいい…？

…ab>0でなくてもいい。うん。そう。そうじゃなくていい。

bが負の場合を考えてみると。

ab<0のときでも、a>0は達成できます。

つまりそんな縛りは必要ないってことです。必要条件ではない。

結論
ab>0であることはa>0であるための、必要条件でも十分条件でもない。

～今回のまとめ～

必要条件は、そうでないと困る、っていう縛り
十分条件は、それだけあれば十分、っていう縛り

必要条件だと縛り足りないことがあるし
十分条件は縛りすぎてることがある。

「aがbの必要条件」⇔「bがaの十分条件」 ]]> http://kadakun-toudai.seesaa.net/article/130874066.html 因数分解今回は因数分解を勉強しましょう！そもそも因数分解ってなんなのか。中学校で勉強しました。因数分解とは、かけ算の形に直すことです。例えば、２４を３×８の形に直すのも因数分解だしx2+x を x(x+1) の形に直すのも因数分解。ちゃんとxと(x+1)のかけ算の形になってるbところで。３×８はまださらに因数分解できますよね。最終的には３×２3 までいく。こうやって、最終的に素数の積の形まで直すことを素因数分解っていいます。ね。で。今回この記事で扱うのは、素因数分解と比べてかなり面倒... 方程式、不等式真田正大 2009-10-21T23:14:05+09:00 因数分解を勉強しましょう！

そもそも因数分解ってなんなのか。

中学校で勉強しました。

因数分解とは、かけ算の形に直すことです。

例えば、２４を３×８の形に直すのも因数分解だし

x²+x を x(x+1) の形に直すのも因数分解。
ちゃんとxと(x+1)のかけ算の形になってるb

ところで。３×８はまださらに因数分解できますよね。

最終的には３×２³　までいく。

こうやって、最終的に素数の積の形まで直すことを素因数分解っていいます。ね。

で。

今回この記事で扱うのは、素因数分解と比べてかなり面倒くさいといわれる、式の因数分解のほうです。

共通因数をくくりだす、ってのはまだいいよ

a²+2ab+b²=(a+b)²だの
a²-b²=(a+b)(a-b)だのあるし
x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)とか
acx²+(ad+bc)x+bd=(ax+c)(cx+d)とかなってくるともうめんどくさくてしょうがないし
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)だとか
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)だとかもう覚えらんないよ！！

っていう感じになってる人もいるんじゃないかと思います。

っつーか、そもそもなんで因数分解なんてしなきゃいけないのか。

しかも、かけ算を計算して展開するときは機械的にやればいいのに、因数分解の時は共通因数くくるだの最低字数の文字について整理するだのたすき掛けをやるだのうまい組み合わせ方を探すだの
なんか、あてずっぽうじゃない？

なんで展開は機械的にやればいいのに、因数分解は試しにやってみろ作戦しかないのよ。

なんで因数分解をしなきゃいけないのか。これは、方程式を解くのに使うんですね。

方程式の項を全部左辺に持ってきて、「＝０」の形にする。で、左辺を因数分解すると、どれかの因数が０になるはずで・・・　っつって解く。

x²=-x+2 を解こうと思ったら
x²+x-2 = 0 の形にして
(x-1)(x+2)=0 って因数分解すると、x=1,-2が解だとわかる。

じゃあ、展開は単純作業なのに、因数分解はいろいろ試してみなくちゃいけないのはどうなのよ。因数分解もなんかストレートな方法があるんじゃないの？？

実はこれが、因数分解のポイントなんですよ！

ここでもう一度、数字の因数分解を考えてみます。

５７２３を因数分解してみてください。暗算でちょろっとやってみて。

…

難しい？じゃあ電卓使ってもいいですよ。手元に携帯があればそれについてるはず。

･･･

…難しいでしょ。

２で割れるかどうか、３で割れるかどうか、５なら、７なら…　っつって、割り切れるかどうか試してみるしかない。

じゃあ今度は５９×９７を計算してみて。暗算でちょろっと…　いや、２桁のかけ算は正直私も暗算自身ないので筆算か、手元の携帯に付属の電卓を使っちゃいますが…

答えは５７２３です。

じゃあ、５７２３を因数分解してみてください。

・・・

楽勝です。５９×９７です。

つまり何が言いたいかっていうと、文字の時だけじゃなく、数字の時も、かけ算の計算は簡単だが因数分解は難しい！ってことなんですよ

かけ算の計算は簡単だけど、その計算結果だけ見せられた場合、因数分解して元に戻すのは難しい。

このことを利用して、情報通信の暗号に素因数分解が使われてたりします。すごいね。

かけ算を計算するのは一直線にやれるけど、因数分解はあれこれ試しながら行っては戻り行っては戻りってやってかなきゃいけない。

このことが、そのまま文字の式でも言えるんですね。

つまり結論。

あれこれ試行錯誤したりせずにストレートに因数分解をこなす方法は・・・

ない！！！！

ということでいつも通りに次数の低い文字でまとめたり組み合わせ考えたりたすき掛けやってみたりいろいろがんばってみてくれ！！！！！

以上！！

…ひどい終わり方ですね。

一応ね、限られた場合についてですが、あるっちゃあるんですよ、機械的に因数分解する方法、ってのが。限られた場合だけだけど。

なんかしらの式を、共通因数くくりだしたり、次数の低い文字について降べきの順に整理したりして

最終的に　

Ax² + Bx + C

っていう形になったとします。A、B、C、ｘは、どれも(a+2b)みたいな文字の式になっててもおk。

で、ここまで持ってくればもう勝ったも同然で、たすき掛けも何もやらずに、これの因数分解は

Ax² + Bx + C =

ってわかります。これが、答え。

展開・計算をすれば、これが正しいことはわかる。

√　の中が負になったときは、「ああ、これ以上因数分解できない奴だったんだな。」って思っとけばおk。複素数の範囲で考えてる時は√　の中が負でもおk。

なんで解の公式が？って思った人のために、それっぽい解説をつけて、この記事を終わりたいと思います。

①Ax² + Bx + C = 0 っていう方程式を、試しに考えてみるんですよ。

これの因数分解がA(x-α)(x-β)って仮定すると、方程式①は

A(x-α)(x-β)=0　って変形できるので、方程式①の解は

x=α,β

ところで、方程式①の解は、解の公式より　

x = {-B±√(B²-4AC)} / 2A 　なので

これがα、βに等しい。

よって、Ax² + Bx + C の因数分解は

ね。２次式の因数分解なら、この式にぶち込めば必ず答えがでます。ただし実数の世界で考えてる時は、√　の中が負になったら「これ以上因数分解できなかったのか」って考えてください。

…ただこれ、慣れてくると、たすき掛けのほうが速かったりする場合もあるので、どの程度使い物になるかはみなさん試してみて判断してみてください。。。

～今回のまとめ～

かけ算の計算（展開）は規則的にできるのに対して
その逆操作である因数分解は、規則的にはできない。 ]]> http://kadakun-toudai.seesaa.net/article/129274270.html 複素数平面今回は複素数平面のお話をします。世代によって、教科書に載ってたり載ってなかったりする奴です。教科書改訂のたびに消えたり現れたりしてるからです。しかし！教科書に載ってなくてやる必要のない人も！知っとくと便利だから！複素数自体はやるよね？？そんときにさ！ちょっと便利に使えるから！！ちょっと聞いてって！！・・・でも今回の話はちょっとあれかもしれない。ベクトル的な感じや極座標的な感じがちょっと出てくるから・・・複素数っていうと、iがでてきますね。iが。i2＝-1っていう奴。なんでそん... 複素数、高次方程式真田正大 2009-10-01T19:38:29+09:00 複素数平面のお話をします。

世代によって、教科書に載ってたり載ってなかったりする奴です。

教科書改訂のたびに消えたり現れたりしてるからです。

しかし！教科書に載ってなくてやる必要のない人も！

知っとくと便利だから！

複素数自体はやるよね？？

そんときにさ！ちょっと便利に使えるから！！

ちょっと聞いてって！！

・・・でも今回の話はちょっとあれかもしれない。ベクトル的な感じや極座標的な感じがちょっと出てくるから・・・

複素数っていうと、iがでてきますね。iが。

i²＝-1

っていう奴。

なんでそんなもんがいるのか、っていう話がよくいろんなとこで言われますが

なんでいるのか！っていう話はまあ、これがあると便利なこともあるからあるんだよ。っていう話で今回の記事もその一端を紹介することになるわけｄ

まず複素数平面をずばり説明します。

いつものｘｙ平面を考えてもらって

ｘ軸のかわりに実数軸、ｙ軸のかわりに虚数軸をとったもの

こんだけです。

だから、a+biは点(a,b)に相当します。

複素数 2i , -2+3i は、それぞれ点(0,2),(-2,3)に相当します。

ひとつの複素数は、複素数平面上のひとつの点としてあらわされるわけですね。

ではまずは足し算について考えましょう。

複素数の足し算は、実はベクトルの足し算と同じです。

(1-i) + (2+3i) = 3+2i　

図であらわすと、こうなります。

ここまでは問題ないです。

問題はこの次。

複素数の掛け算

複素数平面を学習しない場合、(1+i)² だの i/(1-i)　だの計算させられて

計算の仕方はならったけど、何の意味があるのかわからない、っていう場合が多いと思う。

今日はそれに意味を与えます。

複素数の掛け算は

回転と相似拡大を表す！

いきなりですが身も蓋もない根拠を示します。小文字で。あとから解説するからなんとなくでおｋ。計算自体は、掛け算を展開して加法定理でまとめてるだけ。

複素数a,bについて、a=|a|(cosθ+isinθ) b=|b|(cosφ+isinφ) とすると

ab=|a||b|(cosθ+isinθ)(cosφ+isinφ)

=|a||b| { (cosθcosφ-sinθsinφ) + i(sinθcosφ+cosθsinφ) }

=|a||b| { cos(θ+φ) + isin(θ+φ) } ■

さて。式の中に、|a|が出てきました。絶対値の記号ですね。

・・・が。しかしぃ。-3の絶対値なら３ってわかるけども

1+i の絶対値って何？っていう話。

上で、複素数をベクトルみたいにあらわす話をしました。

aがベクトルだとしたら、|a|ってのはaの大きさ（長さ）を表すんですよ。

そこで、同じように考えてみる。1+iっていう点を複素数平面であらわすと、(1,1）に対応するので

原点と（１，１）の距離を考えて、√(1²+1²)＝√2

こういうふうにして、|1+i|=√2 って考えます。

これが複素数の絶対値。

それから。上の式の中に、sinとかcosとかθとかφとか、角度がを表すものが出てきました。

なんで複素数に角度が出てくるのか。

これは、ｘ軸から反時計回りにはかった角度を表すんだけど、まあ、図を見てくれれば、早いと思う。

aってのは複素数ね。画像だと大体･･･ -2+3iとかそんなん？まあ何でもいいや。目盛りもないしｗ

このθを、「偏角」って言います。

さて。とりあえず「絶対値」と「偏角」の説明は終わり。

複素数の掛け算の話に戻ります。

さっき、複素数の掛け算は回転と相似拡大を表す　って言いましたが

具体的には

ある複素数に別の（同じでもいいけど）複素数を掛け算すると

原点からの距離が絶対値倍になって、偏角の分だけ回転する

んです。

これの証明が、上に書いた式ね。

んで、問題はこれが何に使えるのか、っていうこと。

ずばり、複素数の計算に使えるんですよ。

例えば。(1+i)²

1+iは、絶対値が√２で、偏角がπ/4（45度）です。点（１，１）に向かって原点から直線を引くことを考えてみればいいんです。

これを2乗すると、絶対値はそのまま掛け算して２、偏角は45度からさらに45度回転して90度。

ってことは、複素数平面上で、まっすぐ真上に向かって、原点から２だけいくと

点（０，２）　つまり 2i にたどりつきます。

頭の中に図を思い浮かべて、矢印を伸ばしたりまわしたりしてみればいい、ってことです。

さらに。割り算にも使えます。

-2/(1+i)　を考えてみましょう。

求める答えは、-2を1+iで割ったものなので、

逆にその答えに1+iをかけると、-2になるはず。

ということは。

1+iの絶対値は√２、偏角は45度なので

-2の絶対値を√２で割って、偏角を45度だけ戻してやればいい。

頭の中に図は浮かんでいますか？

答えは　-1+i　です。

もうひとつだけ例をあげて終わっておきます。

１の三乗根の問題、って、見たことありますか。

よくある求め方は

x³=1
x³-1=0
(x-1)(x²+x+1)=0
よって,２次方程式の解の公式より
x=1,(-1±√3i)/2

１以外の二つの解は、ω、ω²とか表したりします。

なんですが、

実はこの３つの解、絶対値が全部１なんですよ。

で、偏角が、順に０度、１２０度、２４０度になってる。

複素数平面で考えると、半径１の円上に、綺麗に１２０度ずつ円を三等分する方向に三つの解があって

ωとω²が両方とも１の三乗根になってることや

ω＋ω²＝-１　なども、図からわかるんです。

上で求めた解、1,(-1±√3i)/2　について、

ω＝(-1+√3i)/2 、ω²=(-1-√3i)/2　として
複素数平面上に表すと･･･

青い三角形は正三角形になってます。

実は、１の4乗根、5乗根・・・を複素数平面にあらわすと、正方形、正五角形・・・になったりします。すごくね？

以上！

今回の内容は、教科書に載ってない世代の方にとっては寄り道になってしまいますね。

また、教科書に載ってない世代の方は、テストや模試や入試などでこの解法を勝手に使った場合、高校の範囲を逸脱してるとかなんとかで減点される恐れがあります。

使ってはいけない、ということです。

ただし絶対ダメというわけではなく、上で書いたcosやsinの加法定理を用いた証明を自分で解答用紙に書いておけば、使うこともできます。

・・・が、基本的に、使わなくても解ける問題のはずなので、

答えだけ書けばいい計算問題を暗算するときや、求める答えを先に知ってしまいたい場合などに使うといいでしょう。

ただし。√3+i 1+i 1+√3i など、偏角がわかりやすい場合はいいですが（順に30°45°60°）

3+4iなど、偏角がよくわからない奴が出てくるともうこの方法で計算できないので、いつもどおり、分母の実数化など使ってがんばってください。

～今回のまとめ～

複素数平面で考えると
・複素数の足し算はベクトルと同じ
・複素数の掛け算は、絶対値をそのまま掛け算し、偏角の分だけ回転させる
]]> http://match.seesaa.jp/ot_listing.pl?aid=212540&sid=kadakun-toudai&tid=seesaa_hotspot&k=%E6%B5%A6%E9%A0%85&hid=35 [PR]注目のキーワード「浦項」アルイテハド浦項 | 韓国浦項 | 浦項スティーラーズ | ACL 浦項 | 決勝浦項 ]]> 2009-10-01T19:38:29+09:00 ads by Seesaa http://kadakun-toudai.seesaa.net/article/128467206.html モチベーションを保って勉強する方法ここでは私管理人真田正大が、みなさまにいくつか「モチベーションを保って勉強する方法」を提案したいと思います。…ただし、この記事で紹介する方法は、あまりやる気を保って勉強を続けるのが得意ではない人向けです。普段からある程度勉強はできているが、あまり効率があがらないのでいい方法を教えてほしい、という人にはあまり向かないと思います。学校で先生や友達の話を聞いてやる気を出し、帰宅してそのままゲームや漫画に時間を費やして一日が終わり自己嫌悪に陥ったり明日こそはやらなきゃ今日こそはやらな... 全般真田正大 2009-09-20T17:32:10+09:00 モチベーションを保って勉強する方法」を提案したいと思います。

…ただし、この記事で紹介する方法は、あまりやる気を保って勉強を続けるのが得意ではない人向けです。

普段からある程度勉強はできているが、あまり効率があがらないのでいい方法を教えてほしい、という人にはあまり向かないと思います。

学校で先生や友達の話を聞いてやる気を出し、帰宅してそのままゲームや漫画に時間を費やして一日が終わり自己嫌悪に陥ったり

明日こそはやらなきゃ今日こそはやらなきゃもういい加減やらなきゃ、と思いつづけながらそのまま夏休み最終日を迎えるような

そんな人向けです。

話を聞いてやる気を出したり、「もういい加減やらなきゃ！」などと、やろうという意識があるにもかかわらず、ちっとも実行できないというのは、はっきり言って最悪の状況です。

何故なら、そのような状況に慣れてきてしまっているため、もはや話を聞いてやる気を出すことや「もういい加減やらなきゃ」などの決意にほとんど意味がなくなってしまっているからです。

この状況を脱出するには、とにかく一つでも何か実行して、「何もやらない」という事態だけでも抜け出す必要があります。

ということで、そのための方法をいくつか提案しましょう！！

ただし、これらはあくまで「提案」なので、実際に採用するかどうかはそれぞれ判断をお願いします。提案の中にはリスクを伴うものもあります。提案を実行した結果起こったことについて当サイトは一切責任を持ちません。
それぞれの提案の中から納得できたところやおいしいところを抜き出して自分なりの勉強法を作り出してみてください。

１。目標をかなり思い切って下げる
ここでいう目標というのは、志望校ではなく、１日のノルマなど、やろうと思っている内容のことです。「流石にこれは少なすぎるだろう・・・」と思うくらい下げることをおススメします。何故それで良いのかというと、実行しないよりはマシだからです。実際、あれこれ勉強しようと決めたはいいものの、結局ほとんど何も手をつけられなかった、というパターンが非常によくあります。よく自分に負けて遊んだり寝たりしてしまう場合、とにかく毎日目標を達成していく、ということそのものが非常に大切になってくるので、負担を格段に減らしてとりかかりやすくすることには大きな意味があります。

２。スケジュール帳に、各日にやる内容をかなり具体的に書いておく
「数学問題集を１時間」という書き方ではなく、「チャート式数学を５２～５４ページ」というように、具体的に書くことが大事です。その翌日の欄には「５５～５７ページ」などのように書きます。これを何週間か先のところまで書いておきます。
そして、書いたスケジュールを実行する際、注意があります。ある日にスケジュールをきちんと実行できなかった場合、その翌日に埋め合わせをしようとしてはいけません。翌日には翌日のスケジュールが決まっているので、それを実行します。それを実行し終わった場合に限り、前日の埋め合わせをしてもかまいません。これには理由があります。勉強スケジュールというのは、一度崩れ始めると立て直すことは困難です。やり残した分の負担が翌日へその先へとどんどん積み重なっていくからです。そこでこの方法においては、前日からの繰越を思い切って無視することで、スケジュールがなだれ式に崩れることを防いでいます。少しやり残しができてしまう可能性もありますが、それは次にスケジュールを立てるときに組み込んでおけばいいや、もしくはやらないままでもいいや、程度の感覚でかまいません。
また、スケジュールをたてる際は、１。で述べたように、目標は低く設定することをおすすめします。今まで自分がどれだけ目標を実行「できなかった」かを考えて！

３。友達を誘って、その友達と毎日夜に必ずメール等で報告し合う
お互いに「今日はセミナー化学（問題集の名前）の酸化還元（単元の名前）の基本例題を一通りやった」などと、友達とお互いに毎日報告しあう約束をします。もしも１日何もやらなかった場合でも「今日は何もやらなかった」という報告を必ずするように約束します。誰かと一緒にがんばっているという感覚が得られることや、何もやらなかったという報告を人にしたくないという感覚から、自身のモチベーションアップにつながるのでおススメです。
その相手の友達は、勉強する習慣のある人ではなく、自分と同じように勉強が手につかず悩んでいる人を選ぶと意気投合できていいかもしれません。ちなみに最も効果抜群なのは、相手に好きな異性を選ぶことです。告白前だとなおよし。理由は説明しませんが、効果は抜群です。いやほんとに。

４。しばらくまったく勉強しない
「１月１日からこのスケジュールに従ってやる！」とスケジュールだけたてておき、それまではまったく勉強しない、という方法があります。
これがもっともリスキーな方法です。１月１日から勉強すると自分に約束して前日まで思う存分遊びとおすことで、遊んでる間に「１月１日からは必ずやるから・・・」という思いが強まっていき、実行できる、というものです。なので、遊ぶ期間が長ければ長いほどやる気は高まります。これは「明日から本気出す」というものとは違い、「１月１日」という具体的な日にちが決まっているため、その日をむかえたときのモチベーションにかなり差がでます。
ただし、この１日を遊んですごしてしまうともう立て直すことはできなくなってしまうので、幸先のいいスタートを切るため、開始予定日以降の学習計画だけは先にたててから遊び始めることをおススメします。その際も、一日の負担は大きくしない方が良いでしょう。

５。休みの日や放課後、友達と学校や図書館や予備校の自習室に行く約束をする
自分一人で実行できないなら、友達の手を借りようというものです。これなら、集合時間に間に合うように集合場所に行こうとするはず。ただし自習室現地集合は危険です。自分が遅れても友達が先に勉強を開始することができてしまうからです。遅れたら待たせてしまう、という感覚が大事。

５(2)。休みの日や放課後、学校や図書館や予備校の自習室に行って、適当な異性を心の中で狙ってみる
「あー、自習室行くのめんどくせぇなぁ。…おっと、なんであいつの顔が浮かんでくるんだ。…はぁ。とりあえず行くか。」
「お。いた。ラッk…いやいや、別に俺はただ自分の勉強をしにきただけだ。あいつは関係ない。さ、勉強を始めよう。」
…効果はあると思います。

とりあえず、以上です！　どうでしょう、よさげなものはありました？ ]]> http://kadakun-toudai.seesaa.net/article/128358998.html 対数の計算前提記事：指数の拡張（整数）、指数の拡張（実数）、対数は指数の逆関数今回は対数の計算についての勉強です。logax + logay = logaxyylogax = logaxy具体的には、これらの公式の「意味」を説明します。意味がわかれば、覚えやすいはず！！まずですね、「対数」ってのがそもそもなんだったか。それは、ある底aを何乗したら真数Mになるか、っていう数でした。つまり、底aを logaM 乗するとMになる。それをひとつの式であらわすとこう。ね。対数が底aの右上にのって... 指数関数、対数関数真田正大 2009-09-19T00:54:39+09:00 指数の拡張（整数）、指数の拡張（実数）、対数は指数の逆関数

今回は対数の計算についての勉強です。

log_ax + log_ay = log_axy
ylog_ax = log_ax^y

具体的には、これらの公式の「意味」を説明します。意味がわかれば、覚えやすいはず！！

まずですね、「対数」ってのがそもそもなんだったか。

それは、ある底aを何乗したら真数Mになるか、っていう数でした。

つまり、底aを log_aM 乗するとMになる。

それをひとつの式であらわすとこう。

ね。対数が底aの右上にのってますね。底の右上に乗ってるものって何でしたっけ？

…底の右上にのってるものは、a^xでいうところのxなので、「指数」です。

この「対数は指数」っていうイメージを覚えといてください。

それともう一つ、左辺と右辺は＝でつながっているので、同じものを表します。右辺Mは、対数部分の「真数」ですね。

なので、左辺のa^log_aMも、同じく「真数」をあらわす、と解釈して

「底のなんとか乗は真数」というイメージも覚えておいてください。

さて。

実は対数ってのは、右上にのってる数字を下におろしたものなんですよ！！

a^xとかなってるときの、指数部分xだけをとりだして計算するためのもの、とも言えます

では、そのことを示すために、指数の計算法則と比較してみます。

①　a^x×a^y=a^x＋y

②　log_a(b×c) = log_ab＋log_c

どうですか。なんとなく似てる気がしませんか？

上で、「対数は指数」「底のなんとか乗は真数」っていいました。

①は底aのなんとか乗、っていう形をしていて、②は対数の形をしてます。

なので、①の全体は真数の世界、②の全体は対数（指数）の世界にある、っていう感じでいくと

どちらも「真数の世界のかけ算は、対数（指数）の世界の足し算」っていう関係を表しています。

…実は②の公式は、①の指数法則とまったく同じ意味なんですよ。

ちゃんと求めようと思ったら、
②でb＝a^x c=a^y とおいて両辺ともaの右上にのせれば①になるし
逆に①で、x=log_ab y=log_ac 　とおいて対数をとると②になります。

なので、この対数公式をど忘れしたときは

指数法則 a^x×a^y＝a^x+y

から「真数のかけ算は指数（対数）の足し算」であることを思い出せばいいんです。

よくあるミスとして

log_a(b+c)=log_ab×log_ac

と、ふと勘違いしてしまうことがあります。

が、これでは、「真数の足し算は対数（指数）のかけ算」になってます。

a^x×a^y=a^x+y を思い出せば、それがおかしい、と気づけるはず！

さて。ここまでくれば、もう一つの式

③log_ab^c=c log_ab　の意味もわかります。

これが表しているものは

「真数のなんとか乗　は　対数のなんとか倍」です。「なんとか」はcを表してます。

これと、指数法則

④(a^x)^y = a^xy

を比べてみてください。

a^xを「真数」として捉えて、「対数は指数」ということもおもいだすと　

この④式も「真数のなんとか乗　は　指数のなんとか倍」という意味だとわかります。「なんとか」はyを表してますね。

なので、この③式と④式も実は、まったく同じことを表しているんですよ！！

ちゃんと求めようと思ったら
④で、x=log_ab y=c として対数をとると③になるし
③で　b=a^x c=y としてaの右上にのっけると④になります。

対数と指数が同じ世界に属することを考えたら

log_ax^y　の指数yが　ylog_ax というふうに対数の世界に出てくることもなんとなく納得が…いかない？w

～今回のまとめ～
log_ax + log_ay = log_axy
ylog_ax = log_ax^y

対数（指数）の足し算　は　真数（底のなんとか乗）のかけ算
対数（指数）のかけ算　は　真数（底のなんとか乗）のなんとか乗

これらは指数法則とまったく同じことを意味している

前提記事：指数の拡張（整数）、指数の拡張（実数）、対数は指数の逆関数 ]]> http://match.seesaa.jp/ot_listing.pl?aid=212540&sid=kadakun-toudai&tid=seesaa_hotspot&k=%E3%82%B5%E3%83%A0%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%82%B9%E3%82%AF%E3%83%BC%E3%83%AB&hid=35 [PR]注目のキーワード「サムライハイスクール」小公女セイラサムライハイスクール | ドラマサムライハイスクール | 読むサムライハイスクール | 続きサムライハイスクール | 三浦春馬サムライハイスクール ]]> 2009-09-19T00:54:39+09:00 ads by Seesaa http://kadakun-toudai.seesaa.net/article/125700334.html 指数の拡張～指数が実数の場合～、指数のグラフ前提記事：指数の拡張と指数計算の公式さて、今回は「指数が整数でないとき」を勉強しましょう。そうですね。例えば、y=2xのグラフを書こうとしてみる。2-2 2-1 20 21 22この辺の値はわかる。つまり、ｘが整数のときの値はわかる。順に1/4、2/4、１、２、４なので、(-2,1/4) (-1,1/2) (0,1) (1,2) (2,4)これらの点をとっていけばいい。点をプロットしてみれば、こうなる。しかし。その点の間を、どうつなげばいいのかが、よくわからない！・・・いやま... 全般真田正大 2009-08-14T18:46:42+09:00 指数の拡張と指数計算の公式

さて、今回は「指数が整数でないとき」を勉強しましょう。

そうですね。

例えば、y=2^xのグラフを書こうとしてみる。

2^-2 2^-1 2⁰ 2¹ 2²

この辺の値はわかる。つまり、ｘが整数のときの値はわかる。

順に1/4、2/4、１、２、４なので、

(-2,1/4) (-1,1/2) (0,1) (1,2) (2,4)

これらの点をとっていけばいい。

点をプロットしてみれば、こうなる。

しかし。

その点の間を、どうつなげばいいのかが、よくわからない！

・・・いやまあ、確かに、なめらかな曲線でうまいことつなげばいいんだろう、っていう感じはするけれども。

例えばですよ、

2^1/2はどういう値なんだっちゅう話ですよ！

１に２を1/2回かける

ってどういうことやねん！

とりあえず、1/2が０と１の間なので、
上のプロット図から考えても、

2^1/2は2⁰と2¹の間、

つまり１と２の間にくるっぽいことは想像がつくけれども・・・・

・・・さて。ここでちょっとネタばらしをしてしまいますが。

ｙ＝２^x　のグラフを書くために、とりあえず作ってみた上のプロット図

なめらかな曲線で結べばよさそうな気がします、と言いました。

うん。実は、それでオッケーなんですね。ネタばらしということのほどでもないですがｗ

で、なめらかな曲線で結んで、それを使って２^1/2がどのくらいの値になるのか予想してみます。

どうでしょう。

緑の直線は補助的につけてみたものです。(0,1)と(1,2)を直線で結んで、中点をとってみました。

ｙ＝2^xのグラフは曲がっているので、緑の直線よりも下側にきますね。

なので、2^1/2は、大体、1.4くらいになりそう・・・？　そんな気がしますね。

さて。ここで。あることを思い出す必要があります。

それは、指数の計算法則です。

a^m×aⁿ=a^m+n
(a^m)ⁿ=a^mn
(ab)ⁿ=aⁿbⁿ

ｍとかｎとかが整数の時、確かにそうなるっぽいことはなんとなくわかる。

それを、ｍとかｎとかが整数でない時も、成り立つようにしてしまおうじゃないか！

a^m×aⁿ=a^m+n

これを使って、2^1/2×2^1/2を、ためしに計算してみよう。

いや、2^1/2が何なのかわからないってさっきから言ってるのに、そんな計算できるわけないじゃないか！

と、言いたくなりますが、この公式を使えば、計算できてしまいます。

やってみますと

　2^1/2×2^1/2
＝2^1/2+1/2
＝2^１
＝２

・・・ね。

さぁ、2^1/2の正体になんとなく近づけました。

つまり、2^1/2を２つ掛け合わせると、２になる

２つ掛け合わせると２になる、ってことは、それってつまり・・・

√２　ってこと！

さっき上の図から予想した値は「大体１．４」ということでしたが

√２＝１．４１４２１３５６・・・・　なので、図のほうも間違いなさそうです。

じゃあ、３^1/2は？

　3^1/2×3^1/2
＝3^1/2+1/2
＝3¹
＝３

なので、3^1/2は、二つ掛け合わせると３になる数、

つまり√３　です。

これで何が言えるかというと

a^1/2＝√a

ということがわかります！

じゃあ、2^3/2は？

これは、指数部分を、整数部分と、１より小さい部分に分解してみるとわかります。

　2^3/2
＝2^2/2+1/2
＝2^1+1/2
＝2¹×2^1/2
＝2×√2
＝２√２

ところで。

a^1/2=√aということは、aは√の中に入っているので

負の数ではありえませんよね？

a^1/2を考えるとき、実は、底aは負の数ではダメなんです！

指数が整数の時は、(-2)²=4　とか　(-3)³=-27　とか

考えることができましたが

指数が整数でない場合、底は正の数じゃないとダメです！

理由は上で述べたように、√の中に負の数が入ってきてしまう可能性が出てくるからです。

では、2^1/3は？

これも同じように考えられます。

2^1/3を３回掛け合わせるんです。

　2^1/3×2^1/3×2^1/3
＝2^1/3+1/3+1/3
＝2¹
＝２

ね。３回かけると２になる、ということで

2^1/3＝³√３　（三乗根３）　です。

じゃあ、3^2/3はなんなのさ？

これは、指数の公式

(a^m)ⁿ=a^mn

を使います。

　3^2/3
＝3^1/3×２
＝(3^1/3)²
＝(³√3)²

これはこれ以上簡単にすることはできません。

つまり、3^2/3は、３の三乗根の２乗、です。

実は、先にあげた2^3/2も、答えは2√2ということでしたが、これは２の二乗根の３乗になってます。

つまり、指数の公式から何が言えるか、というと

a^b/c　は

aのｃ乗根のｂ乗　です！

式で書くと

a^b/c = (^c√a)^b　です。

ちなみに

a^b/c = ^c√(a^b)

ともかけます。

この場合は、aのb乗のc乗根、となります。

どちらも、同じ値を表しているので、大丈夫です。

さぁ！これで、指数が分数（有理数）の場合もいけるようになりました！

ただし、指数が整数じゃなくなった段階で、底＞０という制約がついたことも忘れ去らないでくださいね。

さて。最後。

2^xのグラフを書くとき、ｘは分数で表せるとは限りません。

2^√2は、どうすればいいのか！

うーん。どうしよう。このままではまったく意味不明な値だ・・・

でもこれ、実はもう、なんとかなるんですよ。

√２＝１．４１４２１５６・・・・　です。

で、２^{1.41421356・・・}の値を求めればいいわけですが

とりあえず、1.414くらいで計算すると

1.414=1414/1000

です。

なので、2^1.414は、２の千乗根の１４１４乗　です。

ほら！なんとか、まったく意味不明、っていう値ではなくなった！

計算はバカ難しいですが・・・・　まあ、求められなくは、ない・・・はず・・・コンピュータとか使えば・・・・多分・・・

で、これをさらに細かくしていって、1.41421356・・・についてやれば、どんどん正確に

2^√2

の値が求められるということですよ！

はい！以上！これで、正の数aと自由なｘについて、a^xが求められるようになりました！！

2^xのグラフだって書ける、というわけですよ！

・・・まぁ、実際にこのグラフ書くとしたら、

(-2,1/4)(-2,1/2)(0,1)(1,2)(2,4)の点とって、それをなめらかな曲線で結ぶ、っていう方法でやりますけどねｗ

～今回のまとめ～

a^b/c=(^c√a)^b
つまり、
aのc乗根のb乗

前提記事：指数の拡張と指数計算の公式 ]]> http://kadakun-toudai.seesaa.net/article/122661256.html 物質量とは？モルとは？今回は、化学のとっかかりでつまづきやすいところ「物質量」とか「モル」「mol」について、勉強しましょう！塩酸と水酸化ナトリウム水溶液を中和させる反応は、小学校か中学校でやったと思います。二つ混ぜるだけです。ね。「塩」ができる、って奴です。「しお」じゃないですよ、「えん」です。いや、まあ確かに、塩酸と水酸化ナトリウム水溶液の中和反応では、「塩（しお）」ができるんですけどこれが勘違いのもとでして酸と塩基が中和してできるものは、「塩（しお）」とは限りません。酢酸ナトリウムだったり、... 物質量、濃度真田正大 2009-07-02T16:52:08+09:00
「物質量」とか「モル」「mol」について、勉強しましょう！

塩酸と水酸化ナトリウム水溶液を中和させる反応は、小学校か中学校でやったと思います。二つ混ぜるだけです。

ね。「塩」ができる、って奴です。

「しお」じゃないですよ、「えん」です。

いや、まあ確かに、塩酸と水酸化ナトリウム水溶液の中和反応では、「塩（しお）」ができるんですけど

これが勘違いのもとでして

酸と塩基が中和してできるものは、「塩（しお）」とは限りません。

酢酸ナトリウムだったり、塩化マグネシウムだったり、青酸カリだったりします。

で、こういう「酸と塩基が中和してできるやつ」をまとめて「塩（えん）」って呼ぶんですよ。

酸と塩基が中和すると「塩（えん）」ができる。

だから、塩酸と水酸化ナトリウムの反応では

酸と塩基が中和してできる「塩（えん）」として、たまたま「塩（しお）」ができる、っちゅーことです。

…話が横道にそれましたがー

今回はモルの勉強ですね。

ここで断っておきますと、以下、この記事の中では

「塩」と書いたら「塩（えん）」を指すことにします。

で、「塩（しお）」は、「塩化ナトリウム」って書くことにします。ね。化学っぽくなったね。

さて。さて。

塩酸や水酸化ナトリウム水溶液の「濃さ」って、どうやって表すか知ってます？

小学校や中学校で習う「濃さ」つまり「濃度」としては

「１グラムの食塩水のうち何グラムが塩化ナトリウムか？」っていう値を使ってたと思います。

「（溶けてるもの（塩化ナトリウム等）質量）÷（溶液全体の質量）」を計算して、それを100倍して「％」をつけた

「質量パーセント濃度」のことです。

さて。ではここで、塩酸と水酸化ナトリウム水溶液を丁度中和させることを考えてみます。

今ここに、質量パーセント濃度１％の塩酸１００mlと

同じく質量パーセント濃度１％の水酸化ナトリウム水溶液１００mlがあるとします。

同じ濃度で、同じ量。この二つを、混ぜ合わせます。

さて、丁度中和するか、いなか！！

…実は、ちゃんと中和してはくれないんです。

それは、何故か。

この反応を化学反応式で書くと、どうなるか。

塩酸は、塩化水素ＨＣｌの水溶液です。水酸化ナトリウム水溶液はそのまま水酸化ナトリウムＮａＯＨの水溶液。

なので、中和反応は

HCl＋NaOH → NaCl＋H₂O

です。塩酸に溶けてるHClと、水酸化ナトリウム水溶液に溶けてるNaOHは、同じ数ずつ反応します。

ここで大事なのは、「数」が同じってことです。

さっきの例では、質量パーセント濃度が同じ二つの溶液を、同じ量ずつ混ぜました。

この時、何が同じだったかというと

塩酸に溶けてるHClと、水酸化ナトリウム水溶液に溶けてるNaOHの、「質量」が同じだったんです。つまり、「重さ」が同じだった、っていうこと。

「質量」「重さ」が同じだと、「数」が同じなのか。

実は、１個のHClより１個のNaOHのほうが質量が大きい、つまり重いんですよ。

ちなみにその比率は HCl:NaOH=36.5:40 です。

ということは、同じ「質量」「重さ」のHClとNaOHを混ぜた場合

「数」を比べると、ＨＣｌのほうが多いんですよ！

ということはですよ。

「質量パーセント濃度」では、中和反応とかしたいときに、全然参考にならんのですよ！

「1リットルの水に、いくつの粒が溶けてるのか」という

「数」に注目した濃度で考えれば

同じ濃度の水溶液を同じ量混ぜれば中和する、とか、考えることができる。

ということで。

数に注目した濃度を作ってみましょう！

58.5グラムの塩化ナトリウムに、ジャーッと水いれて、1リットルにします。家庭でもできそうですね。

このとき、質量パーセント濃度は、5.85パーセント前後になります。

「前後」っていうのは、ここでは温度を指定してないので、1リットルの水の質量が温度によって変わったり、水が食塩水になったことで密度が変わったりといった影響を考慮してってことですがまあここではどうでもいいです。とりあえずね。

では、これを、「数」に注目した濃度で表してみましょう！

塩化ナトリウム58.5グラムには、
大体600000000000000000000000個ずつ、NaとClが含まれてます。

なので、これを1リットルの水に溶かしたとき、その濃度は

約600000000000000000000000個/リットル

と表すことができます！

ね！これでオッケー★

・・・・というわけにはいかないですね。

数が大きすぎます。超絶に、面倒くさい。

表し方をかえて、有効数字も考慮して

6.0×10²³個/リットル

としても、まだ若干面倒くさい。

「個/リットル」なんていう単位使ってたら、使うたびにいちいち「×10²³」とか書かなきゃいけない。

普通に目に見える量の物質を用意したら、そこには分子とかの粒子が何千垓（せんがい）個っていう規模であるわけですよ。

（ちなみに　１千垓＝10²³）

じゃあ、もっと、便利な単位を用意しよう。

どうすればいいのか。

今、僕の目の前に、カスタードケーキがあります。昨日その辺のスーパーで買ってきた奴です。

このカスタードケーキ、１個１個包装されたものが６個入って一箱です。

一箱買ってくると、それは、カスタードケーキを６個買っていることになる。

６個を一まとめにして、「一箱」と呼んでいる、というわけですね。まあ厳密には「箱」がくっついてくるからちょっと違いますが、まあ、とにかく「ひとまとめにする」っていう感覚をつかんでください。

６千垓個もね、ひとまとめにしちゃえばいいんですよ。

で、「一『箱』」みたいな名前をつけよう。

っていうことで。理由は知りませんが、６千垓個をひとまとめにして「１モル」って呼ぶことにしました。

こうすると、さっきの

約600000000000000000000000個/リットル

の塩化ナトリウム水溶液は、１モル/リットル　と表すことができます！

もっとそれっぽく書くなら、

1mol/l

となるわけです。

これを使うと、さっきの塩酸と水酸化ナトリウムの中和も

「同じ濃度の奴を同じ量混ぜる」でちゃんと中和するようになります。

1.0mol/lの塩酸1.0lと、
1.0mol/lの水酸化ナトリウム水溶液1.0lを混ぜます。

1.0mol/lの塩酸1.0lには、1.0molのＨＣｌが

1.0mol/lの水酸化ナトリウム水溶液1.0lには、1.0molのNaOHが入ってます。

個数に直すと、どちらも6.0×10²³個、つまり約６千垓個ずつ。

これを混ぜると、

HCl + NaOH → NaCl + H₂O

の反応により

６千垓個ずつの粒が丁度反応します！

要するにmolってのは、「個数」を表してるんですね！

・・・・さて。

molが個数を表してる、ってことはわかりました。

が

残る疑問は、何故「１mol」が「6.0×10²³個」なのか。

これ実は、「原子量」とか「分子量」とか「式量」とか言うあのあれに関係があるんですねー

NaClの式量は58.5です。

理由は、原子量が　Na=23 Cl=35.5　だからです。単に、足しただけ。

さて。　気づきました？

上の例で、食塩水作ったときに、58.5グラムの塩化ナトリウムを使いました。

で、そこには６千垓のNaClがある、っつって、それを「１mol」とした。

じゃあ、Na原子を、6.0×10²³個集めたら、その質量は何グラムになると思います？
Na=23 ですよ？

・・・答えは、２３グラムです。

じゃあＣ＝１２　としたら、Ｃ原子を１molつまり6.0×10²³個集めたら、質量は何グラムになるか？

答えは、１２グラムです。

じゃあさらに、Ｏ＝１６　として

ＣＯ₂を2mol集めたら、質量はどれだけになるか？

（12+16×2）× 2 =88　なので

８８グラムです。

もうわかりましたね！

つまり、ある物質を6.0×10²³個集めると、丁度その物質の原子量だの分子量だの式量だのに「グラム」をつけた質量になるんです！

なので、その数6.0×10²³個を、1molってまとめて呼ぶことにしたわけです。

大体のイメージとしては、陽子か中性子を1mol集めたら１グラムになる、っていう感じ。

では最後に用語を２つ説明しておきます。

「アボガドロ定数」
6.0×10²³ のことです。まあ、厳密にはもうちょっと細かいですが、大体このくらいの値。
単位は「/mol」です。「個/mol」にすればいいのに、なんてふうにも思いますが、「個」はこういうアカデミックなあれの単位には入ってこなさそうな感じもなんとなくしますよねｗ

「物質量」
何モルか、ってことです。

問. 58.5グラムの塩化ナトリウムがある。この塩化ナトリウムの物質量はどれだけか。
答え. １．０mol

～本日のまとめ～

「モル」とは、「個数」を表したもので、
1mol＝6.0×10²³個
言い方を変えると、１モルとは６千垓（せんがい）個のこと。

原子量ｎの原子を１mol集めると、質量の合計はｎグラムになる。 ]]> http://kadakun-toudai.seesaa.net/article/122100199.html 有効数字とは有効数字についての勉強です！普通に１０２４とか書けばいいものを、何故か突然1.0×103などと書くわけですね。しかも、１０２４のうち「２４」はどこいったんじゃ！っつう話ですよ。それだけでは終わらない。今まで2cmだったものが、2.0cmになりました。「.0」って何？wいらないじゃんwwっていう話なんですよ。2と2.0の何が違うのかと。まだありますね。0.01と書けばいいものを0.010と書いたり。これも最後の「０」がいらないじゃないかと。言いたくなるわけですよ。しかも、これも... 物理全般真田正大 2009-06-23T23:59:49+09:00 有効数字についての勉強です！

普通に１０２４とか書けばいいものを、何故か突然

1.0×10³

などと書くわけですね。

しかも、１０２４のうち「２４」はどこいったんじゃ！っつう話ですよ。

それだけでは終わらない。

今まで2cmだったものが、2.0cmになりました。

「.0」って何？wいらないじゃんww

っていう話なんですよ。

2と2.0の何が違うのかと。

まだありますね。

0.01と書けばいいものを

0.010と書いたり。

これも最後の「０」がいらないじゃないかと。言いたくなるわけですよ。

しかも、これも

1.0×10^-2

なんて書いたりします。

…さて。

わざわざこんな書き方をするくらいなんだから、もちろん意味があるんですね、実は。

まず一つ目としては、バカでかい数字や、バカ細かい数字を表すために便利です。

例えば、１２gの炭素の中に、炭素原子がだいたいいくつあるか、知ってますか？

大体、６０００００００００００００００００００００００個です。

…読めすらしませんねw

ちなみに、読むと「６千垓（ろくせんがい）」個です。「６兆の１千億倍です。」
まあそれはいいとして。

こんなに０の多い数字ではいちいち書くのも面倒です。

そこで、０の数に注目して、

6.0×10²³個

と、書くことにしたわけです。

逆に、

０.０００００００００００００００００２０m

なんていう距離があったとしたら、やっぱり０が多くて書くのがめんどいので、これを

2.0×10^-18m

と書くことにしたわけです。

…ちなみにこれ、普通に読むと「れいてんれいれいれいれいれい…」となりますが

「２刹那（せつな）」と読むこともできます。刹那って、ちょっとかっこいい。

さて。

まだ疑問が解決してませんね。

「×10^□」ででかい数字やちっちゃい数字を表しやすいことはわかった。

で

「.0」はいったい何のためについてるのかと！

刹那のとこにでてきた数字、さりげなく少数の最後に０がついてるじゃねぇか！と！

答えから言っちゃいますと

有効数字ってのは、「どの程度までその数字が信用できるのか」を表した書き方なんです。

例をあげます。

上に出てきた「大体６千垓」

大体６０００００００００００００００００００００００

「大体」って、どのくらいの「大体」なのか、っていう話なんですよ。

つまりね

５９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９５と
６００００００００００００００００００００００４の間くらいの、割ときっちりした「大体６千垓」なのか

５５００００００００００００００００００００００と
６４９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９の間ぐらいの、割と大雑把な「大体６千垓」なのか

「大体６千垓」っていう言い方からではわからないんですよ！

もう１個例をあげましょう。

日本の人口は１億人です。って聞いて、

「へぇーすげぇ！丁度１億人とか！マジすげぇ」

って言う人はあんまりいませんね

ていうか、今この瞬間にも日本のどっかで誰かが生まれて日本のどっかで誰かが死んでるわけで。

人口、変わってるわけで。

ということはですよ、「人口１億人」っていうのは、「約１億人」「大体１億人」ってことなんですよ。アバウトに。

んさてしかし。大体１億人なのはわかったけど

それは

９万９千９百万人～１億と百万人　くらいの「大体」なのか

５千万人～１億５千万人　くらいの「大体」なのか

っていう話になってくるわけですよ。

いや、まあ、確かに、どんくらいの大体さなのか、なんて興味ないかもしれないけど

ほら、なんかのアンケート調査してみたりとかさ、携帯電話の普及率調べようとか思ったら、日本の人口を何億何千何百万人くらいの精度で知りたくなってくることもあるでしょうよ。

そしたら、「大体１億」が「実は１億３千万」だった、では困るわけですよ。

だから、「大体１億だけど、１億３千万ってことはないよ。９千９百万～１億百万人くらいだよ。」っていうことがちゃんとわかるように、示してくれないと、困るわけなのね。

それを示すためにどうすればいいかっていうと

例えば

「大体１億０千０百万人くらい」っていう言い方をすると、１億３千万人なんていう値は違うんだな、っていうのがわかる。

ところで、ここまで話してきてあれなんですけど

日本の人口、「１億３千万」ってのも、聞いたことないですか？

実際、日本の人口は、「大体１億３千万人」なんですよねw（記事投稿時現在）

じゃあ、「人口大体１億人」は間違いじゃないか！

…じつは、そういうことにはならないんですね。

１億３千万人でも、大体１億って言っちゃっていいんじゃないですか？まあ、若干まとめすぎな気もしますが、

大雑把に規模を知りたい時なんかはそれで十分。

ちっちゃい子供に「ニホンってどのくらい人いるのー？お父さんとお母さんとおじいちゃんとおばあちゃんとともちゃんとゆかちゃんとあたしで７人でしょ、あとピアノの先生とさっき道歩いてたおじちゃんと…」って聞かれたら

答えの精度は「ううん。もっとすごくたくさん住んでるんだよ。大体１億人くらいだよ。」で十分でしょう。まあ、その子が１億っていう数字を知ってるとしたらですけどw

つまり

最初に言った「大体１億」は、何を四捨五入したものかって考えると

「５千万人丁度～１億４９９９万９９９９人」の範囲を指して「大体１億」っていうことだったんですね。

同様に、１億３千万は

１億２５００万人丁度～１億３４９９万９９９９人　を指してるんだと思います。

でも実は、「大体１億３千万」っていう言い方からは、そうとは限らなくて

１億２９５０万人丁度～１億３０４９万９９９９人　を指してる可能性も残ってるんですよ。

もちろん、

１億２９９９万９９９５人～１億３千万４人　を指してる可能性もある。

…いやまあありえないだろうけどさ。誤差４，５人以内なんて。
でも、「大体１億三千万」っていう言い方からは、その可能性も一応ね、あるっちゃある。

じゃあ、その辺の精度をちゃんとわかるようにするには、どうしたらいいのか。

その答えが「有効数字の表し方」なんです！

日本の人口の例でいきますと

「１億２５００万人丁度～１億３４９９万９９９９人」っていう精度を表したかったら

1.3×10⁸人　って書きます。「×」の左側にある、具体的に数値を表してる部分が２桁なので「有効数字２桁」といいます。

これに対して

「１億２９５０万丁度～１億３０４９万９９９９人」っていう精度を表したかったら

1.30×10⁸　って書きます。これは「有効数字３桁」です。

ちょっと数字が大きすぎてわかりにくいと思うので別の例をあげますと

あるライブの会場で、アーティストが

「今日は、俺らのライブ見に、６００人も集まってくれて、どうもありがとう！」

とか言ったとしますよね

はたしてこの６００人は正確に丁度６００人だったのでしょうか？

これがもし、５５０～６４９人っていう精度だった場合

有効数字１桁で
6×10²人　って書くわけです。

５９５～６０５人っていう精度だった時は

有効数字２桁で
6.0×10²人　って書くわけです。

…わかりました？

まあライブでアーティストが舞台上で言った人数がどのくらい正確か、なんてことは割とどうでもいいかもしれませんが

これが物理や化学での、実験の測定値だった場合、どのくらい正確なのかはちゃんとわかってないと、困っちゃうわけですよ。

何気なく「0.8グラム」とか言われても、

・それが多少大雑把に0.85グラムくらいまで含んでるのか、
・0.8005グラムくらいまでしか含まない正確さを誇るのか、

ちゃんとわかってないと困る。

だから、前者の場合は、有効数字１桁で
8×10^-1グラム

後者の場合は、有効数字３桁で
8.00×10^-1グラム

っていうふうに書いて、どのくらい正確な値なのかを表すわけです！

ちなみにこの表し方

2.0×10²って

別に 0.20×10³　でも一緒の値を表してますね。

じゃあ、どっちでもいいのか！っていう話なんですが

基本的に、「×」の左側にある数字は、１以上１０未満、っていうのが慣例になってます。

なので、2.0×10²ってあらわすようにしましょう！この場合、有効数字２桁です。

ちなみにこれ、実は、0.20×10³とあらわしても、精度は変わらないので有効数字２桁です。

頭にくっついてる０は、有効数字としてみなされないんです。

だって、それも有効数字とみなしちゃったら、

0.00020×10⁶にすれば、有効数字６桁になっちゃう。でも、６桁分の精度になったわけじゃないですよね。

６桁分の精度にするためには、2.00000×10²になってくれなきゃいけない。

なので、有効数字は、０以外の数字が最初にきたところから桁数を数え始めるようにしましょう。

以上！

～今回のまとめ～
数字がどのくらいの精度を持ってるのか、をあらわすために、有効数字の桁数がはっきりわかる表し方を使う。 ]]> http://kadakun-toudai.seesaa.net/article/120126223.html マイナスとマイナスをかけるとプラスになる理由 (-１)×(-1)が＋１になる理由、マイナス×マイナスがプラスになる理由について、ピンとこない人も多いと思います。なので！ここではその根拠的なものとか、感覚的理解を助けるものとか、そんな奴をいくつか紹介したいと思います。１．後ろを向いて後ろに進むと、結果的には前に進むことになる。最初に後ろに向くのが-1、後ろに進むのも-1、しかし結果進んだ方向は＋１だから(-1)×(-1)は+1２．(-1)×３＝-3(-1)×２＝-2(-1)×１＝-1(-1)×０＝０(-1)×... 数学全般真田正大 2009-05-24T18:10:04+09:00 (-１)×(-1)が＋１になる理由、マイナス×マイナスがプラスになる理由について、ピンとこない人も多いと思います。

なので！

ここではその根拠的なものとか、感覚的理解を助けるものとか、そんな奴をいくつか紹介したいと思います。

１．

後ろを向いて後ろに進むと、結果的には前に進むことになる。

最初に後ろに向くのが-1、後ろに進むのも-1、しかし結果進んだ方向は＋１

だから(-1)×(-1)は+1

２．

(-1)×３　＝-3
(-1)×２＝-2
(-1)×１＝-1
(-1)×０＝０
(-1)×(-1)＝？

?に入る数字はなんでしょう？普通に考えて、＋1のような感じがしませんか？

３．

1万円札を盗まれました。所持金はいくら変化したでしょう？

結論からいうと、１万円減りました。それを計算する式は

お札の金額×枚数の変化＝所持金の変化

1万×(-1)＝－1万

仮に、-1万円札があるとします。持ってるだけで1万の損害・・・まあ、ありえませんが、あるとしますｗ　人生ゲームの約束手形を考えてもらえばＯＫです。

-1万円札を盗まれました。所持金はいくら変化したでしょう？

今回は１万円増えてますよね。それを計算する式は

お札の金額×枚数の変化＝所持金の変化

(-1万)×(-1)＝＋１万

４．

-１万円札は存在しません。じゃあ実際に存在しそうな例をあげましょう。

ある会社に、
１日に１万円の利益を出す社員Ａさんと
１日に１万円の損害を出しやがる馬鹿社員Ｂさんがいるとします。

このうち一人をクビにすると、会社の１日の利益はどうなるでしょう？

まず、Ａさんをクビにする場合。まあ、利益が１万円減ってしまうのでありえませんがｗ

その社員のだす利益×人数の変化＝利益の変化

１万円×(-１）＝－１万円

次に、Ｂさんをクビにする場合。まあＢさんをクビにするのが普通ですよね。

何故なら、Ｂさんをクビにすれば、１万円の損害がなくなる、つまり利益が１万円増えるから

その社員の出す利益×人数の変化＝利益の変化

(-１万円）×(-１)＝＋１万円

５．

１日５００円、貯金箱から取り出してご飯を食べています。

今日、貯金箱をみたら、１００００円入っていました。

明日はいくら入っているでしょう？

もちろん９５００円です。

じゃあ、一週間後、つまり７日後は？

１００００＋｛　(-５００)×７　｝＝１００００－３５００

６５００円ですね。

では、１週間前、つまり７日前は、貯金箱にいくら入っていたでしょう？

１００００＋｛　(-５００)×(-７)｝＝１００００＋３５００

１３５００円、ということになります。

６．

0=0
0=(-1)×0
0=(-1)×{(+1)+(-1)}　　　　　←右辺にあった０を置き換えた
0=(-1)×(+1) + (-1)×(-1)　　　←分配法則 a(b+c)=ab+ac を使った
0=(-1) + (-1)×(-1)　　　　　←(-1)×(+1)を計算した
(+1)=(+1)+(-1) + (-1)×(-1)　　←両辺に(+1)を足した
(+1)=0 + (-1)×(-1)　　　　←(+1)+(-1)を計算して０にした
(+1)=(-1)×(-1)　　　　　　

こんなところです。参考になりました？　

「あー、なるほど・・・」って思えた奴が一つでもあったらうれしいです。

～今回のまとめ～
（－１）×（－１）＝１　により、いろんなことがうまく扱える ]]> http://kadakun-toudai.seesaa.net/article/120073477.html ベクトルの内積の意味前提記事：ベクトルとは何か・ベクトルの足し算今回は、ベクトルの内積がそもそも何をあらわしているのか、ということを、なんとなくでいいから感覚的につかめるといいな、っていうことを目指した記事です。この記事内では、内積の計算上の性質とかそういうアレについてはあんま触れませんー。内積習うとき、「こういうもんなんだよ！とりあえず覚えろ！」みたいな教え方されることが多いと思うので、今回はそれでは納得できない人向けに記事を書こうと思いまして。んさて。内積の定義を思い出してみましょう。このc... 平面ベクトル真田正大 2009-05-23T21:07:13+09:00 ベクトルとは何か・ベクトルの足し算

今回は、ベクトルの内積がそもそも何をあらわしているのか、ということを、なんとなくでいいから感覚的につかめるといいな、っていうことを目指した記事です。

この記事内では、内積の計算上の性質とかそういうアレについてはあんま触れませんー。

内積習うとき、「こういうもんなんだよ！とりあえず覚えろ！」みたいな教え方されることが多いと思うので、今回はそれでは納得できない人向けに記事を書こうと思いまして。

んさて。

内積の定義を思い出してみましょう。

このcosθってなんなんでしょうね。θは二つのベクトルがなす角、っていうことですがー

まずは数直線を考えてみましょう。

a=1 b=2
a=3 b=-2
この二つを例にあげるとー

ね

原点Ｏを中心に、正の数は右、負の数は左側にのびています。

ここで注目すべきポイントは、赤い矢印と青い矢印が平行になっているということです。

さてさてさて。

次へ進みます

a=1 b=2を例にあげて進めることにするとー

試しに絶対値の掛け算

|a||b|を計算してみます。

１×２で、ａｂを普通に計算したときと同じですね。

次にa=3 b=-2を例にあげて進めることにしますよー

まず、単純にa・bを計算します。掛け算するだけ、-6です。

しかし、これは|a||b|＝３・２＝６には一致しません。

符号が逆になってます。-１倍になってます。

ここでもう一度この図を見てください。

で、赤い矢印をaベクトル

青い矢印をｂベクトルだと思ってください。

で、この二つのベクトルの内積を考えてみてください！

何が言いたいか、わかっていただけました？

上の数直線では、→と→、この二つのベクトルのなす角は０度です。

なのでθ＝０、cosθ＝１

内積は|a||b|cosθ＝１×２×１＝２

下の数直線では

←→
この二つのベクトルのなす角θは180度です。
なのでcosθ=-1

aベクトルの大きさは３、ｂベクトルの大きさは２です。

これを内積の式に代入すると

３×２×（－１）

-6ということになるわけです！！

ね。なんとなく内積が普通の掛け算と似たような感じっていう雰囲気だけどことなく受け取ってもらえたりとかそんな風なようになっていただけました？

要するに何が言いたいかっていうと

二つの「平行な」ベクトルの内積は、そこに数直線を重ねると、ただの数字の掛け算と同じになる。

平行なベクトル同士なら掛け算できる、ってことです。

さて、ここまでダラダラと説明してきましたが

いよいよ本題、平行でないベクトル同士の掛け算について考えます。

平行なら、掛け算することができる。

平行じゃないときは、どうすればいいのか。

答えはこうです。

平行な方向を向いてる成分を取り出せばいい！

ここで、ベクトルは分解できる、ということを思い出してください。

aベクトルとｂベクトルの内積を考えるとき、

ｂベクトルを、aベクトルと平行な成分と、平行じゃない成分に分解するんです。

そうすると、「平行じゃない成分」というのは、同じ方向、と、真逆の方向、のどちらを向いていてもだめなので、その両方から一番遠い向き、つまり、直角の向きを指すことになります。

要するに下の図のようなことを考えるわけです。

どうですか！

ベクトルの内積っていうのは、平行な成分をとりだして掛け算するっていうことなんですよ！

反対側を向いてるときは平行な成分は数直線の反対側にくるので掛け算するとマイナスになるし

平行な成分がない、つまり垂直なときは内積は０になります。

もちろん、ｂベクトルの代わりにaベクトルを分解しても同じです。

違う方向を向いてるものは掛け算することができない。

そこで、平行な成分を取り出すことによって、掛け算を可能にしたわけです！

～今回のまとめ～

ベクトルの内積とは、平行な成分をとりだして掛け算したもの。

前提記事：ベクトルとは何か・ベクトルの足し算 ]]> http://kadakun-toudai.seesaa.net/article/119958829.html 指数が整数の場合と指数計算の公式発展記事：指数が実数の場合さー今回は、指数に関しての勉強です！32とか、24とか、そういう奴ですね。x2なんて奴もありますね。要するに、その数が何回かけてあるか、っていうことですよ。32なら、３×３で２回24なら、２×２×２×２で４回x2なら、x×xです。うん。見にくいね。ちなみに、32の「３」24の「２」x2の「x」のことを「底」と呼びます。。。あ、いや、「そこ」じゃなくて「てい」って読んでください。これはまあ、用語ですね。いろんなとこで出てくるんでそのうち勝手に慣れま... 指数関数、対数関数真田正大 2009-05-21T22:25:48+09:00 指数が実数の場合

さー今回は、指数に関しての勉強です！

3²とか、2⁴とか、そういう奴ですね。

x²なんて奴もありますね。

要するに、その数が何回かけてあるか、っていうことですよ。

3²なら、３×３　で２回

2⁴なら、２×２×２×２　で４回

x²なら、x×xです。うん。見にくいね。

ちなみに、
3²の「３」
2⁴の「２」
x²の「x」のことを「底」と呼びます。

。。あ、いや、「そこ」じゃなくて「てい」って読んでください。

これはまあ、用語ですね。いろんなとこで出てくるんでそのうち勝手に慣れます。

ではここで、２⁰を考えてみようじゃありませんか！

ゼロ乗　です。

「０回かける」　うーん。わかるようなわからないような、っていう感じですね。

なんとなく雰囲気的に

2⁰＝０のような気もします。

がー

答えは１です。2⁰＝１

なぜでしょう。

ここではすごく簡単な説明を用意します。

2⁵=32

2⁴=16

2³=8

。。。そろそろ何が言いたいかわかってきたんじゃないかなぁと。

続けます。

2²=4

2¹=2

2⁰=1

ね。

指数が１減るたびに、２で割っていくことになるわけですよ。

こう考えると、０乗が１になるのって自然な感じしない？

で、この感じでそのままいくと、2^-1が何なのか、なんてこともわかってきたりします。

なんでしょうか。

そうですね。1/2です。２分の１。

指数が１減ったから、２で割ったわけです。

さらにいくと

2^-2=1/4

2^-3=1/8

以下略

ね。まとめると

2ⁿは１に２をn回かけて

2^-nは１を２でn回割る

ということ！

いや、底（てい）は２でなくてもいいですよ。

３でも４でも、0.5でも√２でも。１でもいいけど、何回かけても何回割っても１だから面白くないよね。

ただ、０のときは注意。指数がマイナスのとき

つまり0^-1などのとき、「０で割る」という状況が発生します。

これはタブーです。アウトです。違反です。

また、マイナスの底については、指数が整数のときはセーフです。

まとめなおすと

０以外の底aについて

aⁿは１にaをn回かけて

a^-nは１をaでn回割る

ということ！

んさて。とりあえず底が０のときはまずいですが

指数が０やマイナスの整数のときもいけるようになりました。

正の指数がかける回数をあらわすなら、負の指数は割る回数を表す、っつうこと。

指数が整数のときはこれで完璧ですね！

ここで公式を3つ紹介します。

いや、覚えようとしなくていいです！

今ここで読んで、「あー、まあ確かにそうなるねー」ぐらいでね。

a^m×aⁿ=a^m+n

(a^m)ⁿ=a^mn

(ab)ⁿ=aⁿbⁿ

ここで、m,nはどちらも整数です。自然数かもしれないし０かもしれないし負の整数かもしれない。

１個ずつ簡単に説明します。
a^m×aⁿ=a^m+n

aをm回かけたものとaをn回かけたものをかけるとaは全部で何回かけられているでしょー

っていうことです。m+n回です。わかった？次いきます。

(a^m)ⁿ=a^mn

「aをm回かけたもの」をn回かけたら、aは全部で何回かかっているでしょー

っていうことです。さっきよりちょっとややこしいですが、

aがm個、っていう固まりがn個あると考えて、全部でm×nです。わかった？次いきます。

(ab)ⁿ=aⁿbⁿ

「a×b」をn回かけたとき、aとbはそれぞれ何回かかっているでしょー

ってことです。それぞれn回ずつ、です。わかった？

mやnが負の数のときも大丈夫です。

例えば、mが－１、nが１のとき、公式によると
2^-1×2¹=2^-1+1=2⁰=1
ってことになりますが
これは、「２分の１」×「２」なので、確かに１になります。ね。

こんなところですね。

とりあえずこれで指数が整数のときはオッケーなわけです。

ね。

指数が整数のときは。

～今回のまとめ～

aⁿは１にaをｎ回かける
a^-nは１をaでｎ回割る

a^m×aⁿ=a^m+n
(a^m)ⁿ=a^mn
(ab)ⁿ=aⁿbⁿ

発展記事：指数が実数の場合 ]]> http://kadakun-toudai.seesaa.net/article/119680907.html 対数の約束事、指数関数の逆関数としての対数前提記事：対数の記号log今回は対数の約束事についての勉強です。まずは対数がなんだったかについて確認します。logaM の成り立ちはーこういうことでした。底(てい)のlog乗が真数ね。さてこれに従うと、底ａと真数Ｍには、とることのできない値があることが、わかります。ａ＝－２のときを考えてみるとー-２の２乗は？４ですね。-２の３乗は？-８ですね。では、-2の2.5乗は・・・？２の2.5乗なら、４と８の間にきそうなものですが、-2の2.5乗は、マイナスをどう処理していいのかがわか... 指数関数、対数関数真田正大 2009-05-17T17:53:50+09:00 対数の記号log

今回は対数の約束事についての勉強です。

まずは対数がなんだったかについて確認します。log_aM の成り立ちはー

こういうことでした。底(てい)のlog乗が真数ね。

さてこれに従うと、底ａと真数Ｍには、とることのできない値があることが、わかります。

ａ＝－２のときを考えてみるとー

-２の２乗は？４ですね。

-２の３乗は？-８ですね。

では、-2の2.5乗は・・・？

２の2.5乗なら、４と８の間にきそうなものですが、

-2の2.5乗は、マイナスをどう処理していいのかがわからない。

次に、a＝１やa＝０のときを考えてみましょう。

・・・１は何乗しても１です。

そうすると、真数Ｍは１にならざるをえなくなってしまいます。
Ｍ＝２のとき、log_１２という値はありえない。ということになる。

０も、何乗しても０なので、１のときと同じことが言えます。
log₀2はありえない。

さらに次。

Ｍ＝－２のときを考えてみましょう。

例えば、底aが２のとき、log₂(-2)はどういう値になるでしょうか？

そうですね。正の数は、何乗しても正の数です。－２にはなりえません。

つまり、log₂(-2)はありえない。

また、真数Ｍが０のとき、底、つまり何乗かして０になる数は０でしかありえないので
log₂0はありえない。

つまり何が言いたいかというと
・底ａが０以下のとき
・底ａが１のとき
・真数Ｍが０以下のとき

これらのとき、困るパターンが生じてしまうということです。

んー。じゃあ困るパターンが生じないように決めちゃえばいいんじゃね？ということで

底は１以外の正の数
真数は正の数

と、いうことになります。約束事です。

では底が０と１の間の数のときは、困るパターンは生じないのか？

大丈夫です。

例えば、底が0.5（つまり2分の1）のときを考えてみるとー。

log_0.54という値は存在するのか？

存在します。答えは-2です。

指数の性質を思い出して。　
0.5^-2は、0.5の逆数の2乗です。
0.５(2分の1)の逆数は２なので、その2乗は４。

ということで、底は1以外の正の数であれば大丈夫なのです。

また、今の例のように、logは負の数になることもあるんです。

じゃあ、logが０になることもあるのか？

あります。

答えから言うと、真数Ｍが１のとき、底ａに関係なくlogは０になります。
指数の性質を思い出して。何かの０乗は、１なわけですよ。

log_a1=0　なわけ。半ば公式みたいなもんです。

・・・
てかね、ぶっちゃけね、上の「底は1以外の正の数」っていう奴、指数のところで出てきた奴とまったく同じなんだよねｗ

なのでまあ、とにかく注意するべきなのは「真数は正」っていうところ。

テストでも、「真数は正」を使ってガンガンひっかけようとしてくるから、気をつけてください。

解答の最初に「真数は正なので」っていう書き出しになることがよくあります。

・・・

さて。

ここまでこうして書いてきましたが、違う角度からの説明も用意します。

「指数関数の逆関数」という視点から、まあ、割と大雑把に説明します(笑

指数関数や逆関数については別の記事で。

まず指数関数のグラフは、下のようなものでした。

y=a^x,y=a^-x.gif

とりあえず今は、左側、y=a^xに注目。

この式の、逆関数を考えるとー。

逆関数なので、ｘとｙを入れ替えます。

すると、ｘ＝ａ^y

さて。aのｙ乗がｘという形になりました。

これをｙ＝○○の形にするために、「底の対数乗は真数」にしたがって書き換えます。

底はa、対数はｙ、真数はｘということになるので

y=log_ax　ということになります。

つまり、指数関数の逆関数が、対数関数である、ということなんですねー。

で、逆関数の性質を思い出してください。

ある関数と、その逆関数のグラフは、直線ｙ＝ｘについて対称です。

ということは。指数関数のグラフから、対数関数のグラフなんて簡単に書けてしまうということなんですよ！

a^x to logx.gif

これが対数のグラフです。

どうですか。真数ｘが正の数であることが、一目瞭然です。

また上で述べたように、「底は1以外の正の数」ってのが、指数関数のときとまったく一緒の奴が成り立つのはなぜかっていう話も、なんとなくわかっていただけたんじゃないかと。

結局ね、その辺の性質は指数関数と一緒なんですよ。

さらに言うと、指数関数の不等式をとくときにでてきた、

底が１より小さいときは不等号の向きが逆になる

っていう性質も、そっくりそのまま言えたりします。

・・

さて、今回の記事はここまでですが、一つ注意喚起をしておきます。

「真数は正」で減点されることが本当に多いので、気をつけてください。

例えば、log₂(x-1)＋log₂(x-2)>4 っていう問題は、完全にそれでひっかけようとしています。

まず最初に「真数は正なので、 x-1>0 , x-2>0　つまり　x>2」

と書くことを忘れないようにしてくださいね。

～今回のまとめ～
底は1以外の正の数
真数は正
対数関数は指数関数の逆関数

前提記事：対数の記号log ]]> http://kadakun-toudai.seesaa.net/article/118535273.html 対数イントロダクションその１発展記事：対数の記号logんさて。今回は対数の勉強ですが、「対数って何なん！？」という疑問に、対数そのものを説明するわけではない形で一つの答えを用意します！つまり、「対数」の存在理由から攻めたいと思います！むかーしむかし、天文学者たちは、観測した数値の計算を面倒に思っていました。「あー、なんだよ３１４１５×９８０７６って。電卓があればこんなもん一発なのに。。。」そうは言っても電卓はこの時代ありません。「はー、できた。筆算めんどくせ。さて、え、次は１４５６９×５７８９３か。筆算... 指数関数、対数関数真田正大 2009-05-03T15:51:16+09:00 対数の記号log

んさて。今回は対数の勉強ですが、「対数って何なん！？」という疑問に、対数そのものを説明するわけではない形で一つの答えを用意します！

つまり、「対数」の存在理由から攻めたいと思います！

むかーしむかし、天文学者たちは、観測した数値の計算を面倒に思っていました。

「あー、なんだよ３１４１５×９８０７６って。電卓があればこんなもん一発なのに。。。」

そうは言っても電卓はこの時代ありません。

「はー、できた。筆算めんどくせ。さて、え、次は１４５６９×５７８９３か。筆算筆算、、、」

そんなとき、ふと思いついた人がいました。

「これさ、もうちょっとうまく計算できないの？例えば１００００×１００００は１００００００００なわけじゃん。０の数の足し算になってるわけじゃん。」

「あー、そうっすねー、１００００は１０が４こかかってるから、一万×一万は

（１０×１０×１０×１０）×（１０×１０×１０×１０）ってことで

１０⁴×１０^４＝１０⁴⁺⁴=10⁸

たしかに０の数の足し算になってますねー。０の数の足し算っつーか右上の数字の足し算っつーか。」

「つまりかけ算が足し算になってるわけだろ？掛け算より足し算のほうが楽なのは一目瞭然だ。同じようなことが他の場合でもできんじゃねーかなと思うわけだよ俺は。」

「そんなことできるんすかね？聞きますけど、たとえば３５×５２はどうやって足し算に直すっていうんすか。？」

「１０¹=10で、10²=100だろ。
んでこの二つの掛け算は、１＋２＝３だけ計算しておいて、10³にあたるもの、つまり１０００が答えだ。

だから、たとえば、３５＝１０^1.4とかあらわせるんじゃねぇかな。」

「あー、３５は１０と１００の間だから、1.4ってのは１と２の間からとったわけっすか。」

「そんで、たとえば５２＝１０^1.7みたいにあらわせるとしたら・・・」

「３５×５２
＝10^1.4×10^1.7
＝10^1.4+1.7
ってことっすか？」

「そう！３５×５２という掛け算が1.4+1.7という足し算で計算できるようになった！」

「でも、その答えである10^3.1ってなんすか。10³より大きいから、１０００よりは大きいみたいすけど。」

「ああ、いや、1.4とか1.7とかの数字は適当に選んだからな。３５×５２は１８２０か。お、ホントに１０００より大きいな。けどまあこれは偶然だ。」

「じゃあその、３５とか５２とか１８２０が１０の何乗なのかっていう値がちゃんとわからないと、使えないっすよね、その方法。」

「逆に言えば、わかれば使えるんだろ。調べてこい！」

・・・数時間後

「調べてきたっす。」

「はやいな！どうやって計算したんだ！」

「『対数表』でググったら出てきたっす。」

「そうかよくやった！どれどれ。

３５は１０の何乗かっていう数は・・・1.5441か
５２は１０の何乗かっていう数は・・」

「わずらわしいっすね。その言い方。」

「そうだな。名前をつけるか。とりあえずじゃあ、思いつきで、ログ３５とかログ５２って呼ぶことにする。

ログ３５は1.5441、ログ５２は1.7160だな。
足し算をすると、3.2601。

10^3.2601を表で探すと・・・１８２０だ。」

「おーーやれたっすね。足し算の計算だけで掛け算の計算ができたっすね。表が必要だったっすけど。」

「すごいぞ！これでわずらわしい掛け算は全部足し算で計算できる！」

「そんなすごいことっすか？」

「お前、電卓のないこの時代、大量の掛け算を足し算で計算できてしまうこのすばらしさ、すごいことなんだぞ！わかれ！」

「はぁ・・・」

～～～今回のまとめ～～～

対数を使うと、掛け算を足し算で計算できる。

発展記事：対数の記号log ]]> http://kadakun-toudai.seesaa.net/article/117757786.html 更新再開のお知らせ更新再開します！更新停止のお知らせ→更新再開のお知らせ→更新再開不可能のお知らせという流れできてしまったために、信憑性が薄れてしまっていることは承知しておりますが、今まで更新を妨げていたものは、このたび完全になくなりました。以前の記事で申し上げましたとおり、まずは、新規記事執筆より先に、今までの記事の見直しなどを行い、本サイト全体の使いやすさの向上を目指してまいります。その後、新規記事執筆を行ってまいります。長らく更新を停止させてしまい申し訳ありませんでした。今後とも、「高校... 管理日記真田正大 2009-04-19T15:45:27+09:00
更新停止のお知らせ→更新再開のお知らせ→更新再開不可能のお知らせ

という流れできてしまったために、信憑性が薄れてしまっていることは承知しておりますが、

今まで更新を妨げていたものは、このたび完全になくなりました。

以前の記事で申し上げましたとおり、まずは、新規記事執筆より先に、今までの記事の見直しなどを行い、本サイト全体の使いやすさの向上を目指してまいります。

その後、新規記事執筆を行ってまいります。

長らく更新を停止させてしまい申し訳ありませんでした。

今後とも、「高校勉強攻略ノート」をよろしくお願いします。 ]]> http://kadakun-toudai.seesaa.net/article/106536243.html 更新が停滞していることについてどうも、管理人です。えーとですね、去年、今年度からは更新を再開できる、と、言っていたのですがちょっと想定していなかった事態になってしましまして。まあその原因は私の努力不足にあるのでございますがまた管理人の私が忙しい状況になってしまいなかなか更新できないでいます。ですが！１年以内にはきちんと復活できます！一度裏切った手前このような言葉にはあまり信憑性がないことは承知しておりますがまた、１年という期間は長いようにも思えますがもうしわけございません。言い訳ばかりですみませんが時間が... 管理日記真田正大 2008-09-14T12:23:02+09:00
えーとですね、去年、今年度からは更新を再開できる、と、言っていたのですが

ちょっと想定していなかった事態になってしましまして。

まあその原因は私の努力不足にあるのでございますが

また管理人の私が忙しい状況になってしまい

なかなか更新できないでいます。

ですが！

１年以内にはきちんと復活できます！

一度裏切った手前このような言葉にはあまり信憑性がないことは承知しておりますが

また、１年という期間は長いようにも思えますが

もうしわけございません。言い訳ばかりですみませんが時間がとれないもので・・・

更新再開の折には、まず現在ある記事の見直しから始めようと思っています。

具体的には
・「ここは教科書読んで」などと投げやりな部分にきちんと説明を書す
・背景色変更以前に書いた記事にある見づらい文字色を直す

等を考えています。

リンクして下さっている方々にも本当に申し訳ありません。

ちなみに、サイト閉鎖は考えていません。

以上、真田正大でした。

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