2011年11月19日

積分で面積が求められる理由

ある関数f(x)の、x=aからx=bまでの面積を求めたいとき、

その微分前の関数F(x)を考えて、

F(b)-F(a)とすると、面積が求められる。

高校ではこう習います。


しかし、

何故これで面積が求められるのか


が、あまり説明されません。


「とにかく!微分前の関数を求めて、aとbを入れて差を出せば、面積が出るんだよ!覚えろ!」


という感じです。


「何故だ!何故なんだ!」と思いながらも仕方なく黙って受け入れて使っている人も多いと思います。


ここではそれを説明します。



まず、F(x)という関数を微分することを考えてみましょう。


F'(x)=f(x)


とします。


differential1.jpg

これを図で考えて微分します



まず、これを、縦にザクザク切り刻みます


differential2.jpg

切り刻みの幅はΔxです。



この、黄色い縦線で仕切られた各エリア内でF(x)の変化した量

左から順に

ΔF1、ΔF2、ΔF3、・・・

とおきます。


differential3.jpg


4,5,6,7番目は、F(x)が減少しているので、ΔFはマイナスになります。



これを使って、F'(x)=f(x)のグラフを求めます。


f(x)の値は、F(x)の傾きです。つまりΔF/Δx


なので、f(x)の値は、左端から順に、

ΔF1/Δx ΔF2/Δx ΔF3/Δx ΔF4/Δx ・・・

となります。


differential4.jpg



これにうまく沿うように線を引きます。


differential5.jpg


さて。これでy=f(x)のグラフがかけました。



これが、微分です。



いや、全然ちゃんと微分したわけではないですが、切り刻みを細く細く、Δxを小さく小さくしていけば、微分になります。

わかりやすくするため、少し大ざっぱな切り刻み具合でお送りしております。




・・・さて。



今回のテーマは微分ではなく積分でした。



今使った考え方をもとに、y=f(x)のグラフの面積を求めてみましょう!



y=f(x)の、x=aからx=bまでの面積を求めてみましょう。


differential6.jpg




3ブロックにわかれています。



この3ブロックの面積の合計が、だいたい、求めたい面積になります。


切り刻みを細かくすればするほど、ブロック数が増え、ブロックの面積の合計は求めたい面積に近くなっていきます。



で!ここで、さっきの図に戻ります。


この3ブロックの面積の合計って、その微分前であるF(x)を使ったら、求められる気がしません?


differential7.jpg

画像の左側に注目してください。


一番左のブロックの面積は、縦×横でΔF1

同様に、二番目のブロックの面積はΔF2、三番目はΔF3



つまり、求めたい面積は

ΔF1+ΔF2+ΔF3で求められる
ということになる!



ところで、この ΔF1+ΔF2+ΔF3 という値

differential8.jpg


この画像の、赤い矢印で示した長さが、まさに

ΔF1+ΔF2+ΔF3

という値になっているわけで、そしてこの値こそが


F(b)-F(a)

になっているわけです!





y=f(x)のグラフのx=aからx=bの面積を求めるときは

微分前のグラフを求めてF(b)-F(a)を計算する。

微分前のグラフを求めるには、上で微分をやったのと逆の動作をする。


つまり、

y=f(x)のグラフを幅Δxで切り刻んでブロック分けして

それぞれのブロックの縦の長さをΔx倍して

となり同士のブロックの角と角が合うように並べる

すると、y=F(x)、つまり微分前のグラフが現れているので、

F(b)-F(a)を計算すれば、求めたい面積が求められる。


ということなのです!



次は、先ほどから使っているこのグラフy=f(x)の左端から右端までの積分を求めてみましょう。

左端はすでにaとおいてあります。右端はcとしましょう。


x軸の上にいったり下にいったりするグラフ(値が正になってり負になったりする関数)を積分すると、

(x軸の上にある部分の面積)-(x軸の下にある部分の面積)

が出てきますが


何故このようになるのかも、これで説明がつきます。


今回、ΔF4、ΔF5、ΔF6、ΔF7は負の値です。


これらが、y=f(x)のx軸より下の部分の面積を表しているわけです。


そして、ΔF1からΔF10までを全部足すと、F(c)-F(a)になるわけです。


differential9.jpg



以上!これで、何故微分前の関数を使って面積が求められるのか、おわかりいただけましたでしょうか!



〜まとめ〜

y=f(x)のグラフのx=aからx=bの面積を求めるときは
y=f(x)のグラフを幅Δxで切り刻んでブロック分けして
それぞれのブロックの縦の長さをΔx倍して
となり同士のブロックの角と角が合うように並べる
すると、y=F(x)、つまり微分前のグラフが現れているので、
F(b)-F(a)を計算すれば、求めたい面積が求められる。

posted by 真田正大 at 23:29 | Comment(12) | TrackBack(2) | 全般

2009年09月20日

モチベーションを保って勉強する方法

ここでは私管理人真田正大が、みなさまにいくつか「モチベーションを保って勉強する方法」を提案したいと思います。

…ただし、この記事で紹介する方法は、あまりやる気を保って勉強を続けるのが得意ではない人向けです。

普段からある程度勉強はできているが、あまり効率があがらないのでいい方法を教えてほしい、という人にはあまり向かないと思います。

学校で先生や友達の話を聞いてやる気を出し、帰宅してそのままゲームや漫画に時間を費やして一日が終わり自己嫌悪に陥ったり

明日こそはやらなきゃ今日こそはやらなきゃもういい加減やらなきゃ、と思いつづけながらそのまま夏休み最終日を迎えるような

そんな人向けです。



話を聞いてやる気を出したり、「もういい加減やらなきゃ!」などと、やろうという意識があるにもかかわらず、ちっとも実行できないというのは、はっきり言って最悪の状況です。

何故なら、そのような状況に慣れてきてしまっているため、もはや話を聞いてやる気を出すことや「もういい加減やらなきゃ」などの決意にほとんど意味がなくなってしまっているからです。



この状況を脱出するには、とにかく一つでも何か実行して、「何もやらない」という事態だけでも抜け出す必要があります


ということで、そのための方法をいくつか提案しましょう!!

ただし、これらはあくまで「提案」なので、実際に採用するかどうかはそれぞれ判断をお願いします。提案の中にはリスクを伴うものもあります。提案を実行した結果起こったことについて当サイトは一切責任を持ちません。
それぞれの提案の中から納得できたところやおいしいところを抜き出して自分なりの勉強法を作り出してみてください。



1。目標をかなり思い切って下げる
ここでいう目標というのは、志望校ではなく、1日のノルマなど、やろうと思っている内容のことです。「流石にこれは少なすぎるだろう・・・」と思うくらい下げることをおススメします。何故それで良いのかというと、実行しないよりはマシだからです。実際、あれこれ勉強しようと決めたはいいものの、結局ほとんど何も手をつけられなかった、というパターンが非常によくあります。よく自分に負けて遊んだり寝たりしてしまう場合、とにかく毎日目標を達成していく、ということそのものが非常に大切になってくるので、負担を格段に減らしてとりかかりやすくすることには大きな意味があります。


2。スケジュール帳に、各日にやる内容をかなり具体的に書いておく
「数学問題集を1時間」という書き方ではなく、「チャート式数学を52〜54ページ」というように、具体的に書くことが大事です。その翌日の欄には「55〜57ページ」などのように書きます。これを何週間か先のところまで書いておきます。
そして、書いたスケジュールを実行する際、注意があります。ある日にスケジュールをきちんと実行できなかった場合、その翌日に埋め合わせをしようとしてはいけません。翌日には翌日のスケジュールが決まっているので、それを実行します。それを実行し終わった場合に限り、前日の埋め合わせをしてもかまいません。これには理由があります。勉強スケジュールというのは、一度崩れ始めると立て直すことは困難です。やり残した分の負担が翌日へその先へとどんどん積み重なっていくからです。そこでこの方法においては、前日からの繰越を思い切って無視することで、スケジュールがなだれ式に崩れることを防いでいます。少しやり残しができてしまう可能性もありますが、それは次にスケジュールを立てるときに組み込んでおけばいいや、もしくはやらないままでもいいや、程度の感覚でかまいません。
また、スケジュールをたてる際は、1。で述べたように、目標は低く設定することをおすすめします。今まで自分がどれだけ目標を実行「できなかった」かを考えて!


3。友達を誘って、その友達と毎日夜に必ずメール等で報告し合う
お互いに「今日はセミナー化学(問題集の名前)の酸化還元(単元の名前)の基本例題を一通りやった」などと、友達とお互いに毎日報告しあう約束をします。もしも1日何もやらなかった場合でも「今日は何もやらなかった」という報告を必ずするように約束します。誰かと一緒にがんばっているという感覚が得られることや、何もやらなかったという報告を人にしたくないという感覚から、自身のモチベーションアップにつながるのでおススメです。
その相手の友達は、勉強する習慣のある人ではなく、自分と同じように勉強が手につかず悩んでいる人を選ぶと意気投合できていいかもしれません。ちなみに最も効果抜群なのは、相手に好きな異性を選ぶことです。告白前だとなおよし。理由は説明しませんが、効果は抜群です。いやほんとに。


4。しばらくまったく勉強しない
「1月1日からこのスケジュールに従ってやる!」とスケジュールだけたてておき、それまではまったく勉強しない、という方法があります。
これがもっともリスキーな方法です。1月1日から勉強すると自分に約束して前日まで思う存分遊びとおすことで、遊んでる間に「1月1日からは必ずやるから・・・」という思いが強まっていき、実行できる、というものです。なので、遊ぶ期間が長ければ長いほどやる気は高まります。これは「明日から本気出す」というものとは違い、「1月1日」という具体的な日にちが決まっているため、その日をむかえたときのモチベーションにかなり差がでます。
ただし、この1日を遊んですごしてしまうともう立て直すことはできなくなってしまうので、幸先のいいスタートを切るため、開始予定日以降の学習計画だけは先にたててから遊び始めることをおススメします。その際も、一日の負担は大きくしない方が良いでしょう。


5。休みの日や放課後、友達と学校や図書館や予備校の自習室に行く約束をする
自分一人で実行できないなら、友達の手を借りようというものです。これなら、集合時間に間に合うように集合場所に行こうとするはず。ただし自習室現地集合は危険です。自分が遅れても友達が先に勉強を開始することができてしまうからです。遅れたら待たせてしまう、という感覚が大事。

5(2)。休みの日や放課後、学校や図書館や予備校の自習室に行って、適当な異性を心の中で狙ってみる
「あー、自習室行くのめんどくせぇなぁ。…おっと、なんであいつの顔が浮かんでくるんだ。…はぁ。とりあえず行くか。」
「お。いた。ラッk…いやいや、別に俺はただ自分の勉強をしにきただけだ。あいつは関係ない。さ、勉強を始めよう。」
…効果はあると思います。




とりあえず、以上です! どうでしょう、よさげなものはありました?
posted by 真田正大 at 17:32 | Comment(8) | TrackBack(0) | 全般

2009年08月14日

指数の拡張〜指数が実数の場合〜、指数のグラフ

前提記事:指数の拡張と指数計算の公式

さて、今回は「指数が整数でないとき」を勉強しましょう。

そうですね。

例えば、y=2xのグラフを書こうとしてみる。

2-2 2-1 20 21 22

この辺の値はわかる。つまり、xが整数のときの値はわかる。

順に1/4、2/4、1、2、4なので、

(-2,1/4) (-1,1/2) (0,1) (1,2) (2,4)

これらの点をとっていけばいい。

点をプロットしてみれば、こうなる。

shisuuprot.gif

しかし。

その点の間を、どうつなげばいいのかが、よくわからない!

・・・いやまあ、確かに、なめらかな曲線でうまいことつなげばいいんだろう、っていう感じはするけれども。

例えばですよ、

21/2はどういう値なんだっちゅう話ですよ!


1に2を1/2回かける

ってどういうことやねん!


とりあえず、1/2が0と1の間なので、
上のプロット図から考えても、

21/2は20と21の間

つまり1と2の間にくるっぽいことは想像がつくけれども・・・・





・・・さて。ここでちょっとネタばらしをしてしまいますが。

y=2x のグラフを書くために、とりあえず作ってみた上のプロット図

なめらかな曲線で結べばよさそうな気がします、と言いました。



うん。実は、それでオッケーなんですね。ネタばらしということのほどでもないですがw



で、なめらかな曲線で結んで、それを使って21/2がどのくらいの値になるのか予想してみます。

shisuulinedalpha.gif



どうでしょう。


緑の直線は補助的につけてみたものです。(0,1)と(1,2)を直線で結んで、中点をとってみました。

y=2xのグラフは曲がっているので、緑の直線よりも下側にきますね。


なので、21/2は、大体、1.4くらいになりそう・・・? そんな気がしますね。



さて。ここで。あることを思い出す必要があります。


それは、指数の計算法則です。


am×an=am+n
(am)n=amn
(ab)n=anbn



mとかnとかが整数の時、確かにそうなるっぽいことはなんとなくわかる。


それを、mとかnとかが整数でない時も、成り立つようにしてしまおうじゃないか!


am×an=am+n


これを使って、21/2×21/2を、ためしに計算してみよう。


いや、21/2が何なのかわからないってさっきから言ってるのに、そんな計算できるわけないじゃないか!

と、言いたくなりますが、この公式を使えば、計算できてしまいます。

やってみますと

 21/2×21/2
=21/2+1/2
=2
=2


・・・ね。



さぁ、21/2の正体になんとなく近づけました。



つまり、21/2を2つ掛け合わせると、2になる


2つ掛け合わせると2になる、ってことは、それってつまり・・・


√2 ってこと!



さっき上の図から予想した値は「大体1.4」ということでしたが


√2=1.41421356・・・・ なので、図のほうも間違いなさそうです。




じゃあ、31/2は?

 31/2×31/2
=31/2+1/2
=31
=3

なので、31/2は、二つ掛け合わせると3になる数、

つまり√3 です。


これで何が言えるかというと

a1/2=√a

ということがわかります!




じゃあ、23/2は?

これは、指数部分を、整数部分と、1より小さい部分に分解してみるとわかります。

 23/2
=22/2+1/2
=21+1/2
=21×21/2
=2×√2
=2√2



ところで。

a1/2=√aということは、aは√の中に入っているので

負の数ではありえませんよね?



a1/2を考えるとき、実は、底aは負の数ではダメなんです!



指数が整数の時は、(-2)2=4 とか (-3)3=-27 とか

考えることができましたが


指数が整数でない場合、底は正の数じゃないとダメです!

理由は上で述べたように、√の中に負の数が入ってきてしまう可能性が出てくるからです。




では、21/3は?

これも同じように考えられます。

21/3を3回掛け合わせるんです。

 21/3×21/3×21/3
=21/3+1/3+1/3
=21
=2

ね。3回かけると2になる、ということで

21/33√3 (三乗根3) です。




じゃあ、32/3はなんなのさ?

これは、指数の公式

(am)n=amn

を使います。

 32/3
=31/3×2
=(31/3)2
=(3√3)2

これはこれ以上簡単にすることはできません。

つまり、32/3は、3の三乗根の2乗、です。


実は、先にあげた23/2も、答えは2√2ということでしたが、これは2の二乗根の3乗になってます。


つまり、指数の公式から何が言えるか、というと


ab/c は

aのc乗根のb乗
 です!


式で書くと

ab/c = (c√a)b です。



ちなみに

ab/c = c√(ab)

ともかけます。

この場合は、aのb乗のc乗根、となります。


どちらも、同じ値を表しているので、大丈夫です。




さぁ!これで、指数が分数(有理数)の場合もいけるようになりました!


ただし、指数が整数じゃなくなった段階で、底>0という制約がついたことも忘れ去らないでくださいね。


さて。最後。



2xのグラフを書くとき、xは分数で表せるとは限りません。


2√2は、どうすればいいのか!



うーん。どうしよう。このままではまったく意味不明な値だ・・・


でもこれ、実はもう、なんとかなるんですよ。

√2=1.4142156・・・・ です。


で、21.41421356・・・の値を求めればいいわけですが


とりあえず、1.414くらいで計算すると


1.414=1414/1000

です。


なので、21.414は、2の千乗根の1414乗 です。


ほら!なんとか、まったく意味不明、っていう値ではなくなった



計算はバカ難しいですが・・・・ まあ、求められなくは、ない・・・はず・・・コンピュータとか使えば・・・・多分・・・



で、これをさらに細かくしていって、1.41421356・・・についてやれば、どんどん正確に

2√2

の値が求められるということですよ!



はい!以上!これで、正の数aと自由なxについて、axが求められるようになりました!!



2xのグラフだって書ける、というわけですよ!




・・・まぁ、実際にこのグラフ書くとしたら、


(-2,1/4)(-2,1/2)(0,1)(1,2)(2,4)の点とって、それをなめらかな曲線で結ぶ、っていう方法でやりますけどねw


〜今回のまとめ〜

ab/c=(c√a)b
つまり、
aのc乗根のb乗

前提記事:指数の拡張と指数計算の公式
posted by 真田正大 at 18:46 | Comment(0) | TrackBack(0) | 全般

2008年03月31日

文系科目目次

本サイトのメインは理系科目です。が、さりげなく文系科目の記事もあったりするんです。・・・ちょっとだけだけど。



・古文

・漢文

・英文法

・地理
posted by 真田正大 at 23:33 | Comment(1) | TrackBack(0) | 全般

2006年07月03日

カテゴリ目次






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・古文

・漢文

・数学ABC

・数学TUV

・英単語

・英文法

・物理

・化学

・地理

・世界史




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 ・評論

・小説

 ・




・古文

 ・動詞

 ・形容詞

 ・形容動詞

 ・助動詞

 ・助動詞補足説明とか判別方法とか

 ・助詞

 ・その他いろいろな品詞

 ・敬語

 ・紛らわしい単語を判別してみようか

 ・いろいろな文章 それに使われる修辞法

 ・持っておくといい知識



・漢文

 ・基本中の基本

 ・文の構造とか(否定、疑問、反語、詠嘆、etc...

 ・特殊な意味や使い方をする文字達。

 ・いろいろな文章 それに使われる修辞法

 ・持っておくといい知識



・数ABC

 ・場合の数、確率

 ・命題とか集合とか

 ・平面図形

 ・平面ベクトル

 ・空間ベクトル

 ・数列

 ・



・数TUV

 ・方程式に不等式に

 ・2次関数

 ・sin、cos、tan。

 ・図形の計量

 ・方程式、不等式。そして証明

 ・複素数や高次方程式

 ・座標上の図形と、その方程式

 ・三角関数。(sin、cos、tanのレベルアップ版。)

 ・指数関数に対数関数

 ・微分

 ・積分

 ・



・英単語

 ・英単語片っ端から覚えるぜPART.1

 ・

 ・郡動詞や慣用表現、片っ端から覚えるぜPART.1

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 ・文の構造 語、句、節

 ・文の成分、文型

 ・文の種類

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 ・静電気、放電

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 ・落下する運動

 ・力

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 ・力学的エネルギー、「仕事」

 ・その他いろいろなエネルギー

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・化学

 ・元素。物質を構成するもの。

 ・原子構成、周期表

 ・化学結合

 ・物質量、濃度

 ・化学変化、化学反応式

 ・物質の変化、そして熱

 ・酸と塩基、中和と塩

 ・酸化還元反応

 ・電池、電気分解

 ・非金属元素

 ・典型金属元素

 ・遷移元素

 ・イオン、反応やら分離やら

 ・有機化合物の構造、特徴

 ・脂肪族炭化水素

 ・酸素in脂肪族化合物

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 ・物質の三態、性質

 ・溶液

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・地理

 ・とりあえずカテゴリ。(今後分離します)

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紀元前

 ・人類の誕生と文明の成立

〜15世紀

 ・ユーラシアにかつてあった世界

 ・ユーラシアにかつてあった世界とその周り。

15世紀〜18世紀

 ・16〜18世紀の世界。

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 ・産業化社会へ

 ・アジアの諸国、そして日本

 ・帝国と民族

19世紀〜

 ・第一次世界大戦周辺

 ・第二次世界大戦周辺

 ・あらたしき国際秩序

 ・諸地域が変わってきた

未来(w

 ・未来への課題



posted by 真田正大 at 13:11 | Comment(0) | TrackBack(0) | 全般

サイト趣旨説明

本サイトの趣旨を簡単に説明します!



ずばり!

読むこと自体が勉強になる







を目指したサイトです。







勉強のために教科書を読んだって面白くないけど、




PCで、ぬるぬると文章読むだけで勉強になるんだったら、すっげぇ良くね?




というのが、本サイト開設にいたった思考過程です。





読んで飽きないようにね、ハイテンションに絵とか図とか文字に色つけたりとか、しながら、解説してくのでね。




とりあえず読んじゃってください。




それから。




本サイトでは「感覚的理解」をモットーに、解説をしてます!



つまりどういうことかっていうと




例えば、公式を紹介して、「こういう公式があるからね。とりあえずこれ覚えて。これに代入して解くんだよ。」っていう解説は、したくないわけですよ!





そうじゃなくて



読んだ人には

あーなるほど確かにねー、その公式そういうことか、そんな感じするわ。」っていう状態になってほしい!





それを念頭において、記事を書いてます!



大体そんな感じ。



もちろん!硬くない文章で書いていきますよ!!



教科書の硬い文章が苦手な方もこれで安心というわけですよ!







以上、当サイト「高校勉強攻略ノート」の趣旨説明でした。




〜以下、管理人紹介〜



管理人:真田正大

読み:さなだまさひろ

小学校のころから、勉強をする、ということが大嫌いであった。

小学校、中学校のころには、夏休みの宿題は提出日前日にもまだ多く残っており、ある程度遅い時間になったら諦めるくらいであった。

そうこうしながら、地元の県立高校に入学。

高校時代に、地理の教科書を読みながら、ひたすら文章で順番に事項が書いてある形式である教科書に対し、もっとわかりやすいものは作れないのか、という思いを抱く。

その思いは、他の教科の教科書や、公式を紹介するだけの先生に対しても広がっていった。


高校時代も勉強嫌いは変わらず、夏休みの宿題は9月中旬に居残り指導が始まってから手をつけ始めるようになっていた。


そして受験生時代。


あれこれ目標や計画をたてて実行しようとするも、まったく計画通りにいかない。

自分の精神力はこんなものなのか、と、本気で悩むも、解決しない。

そのまま試験直前期までゲームの体験版で遊んでいたところ、大学受験に失敗。

浪人することになる。


浪人時代には、自分の勉強嫌いと努力できない性格を完全に認めて開き直った、新たな考え方を確立。

モチベーションを長期間維持するのは不可能、という立場にたって

夏休みは遊び、9月から本気を出し、徐々にモチベーションが下がっていき、12月には遊び、正月に一気に切り替えて1月2月は高いモチベーションを保つ、という計画を8月に立て、それを実行。

遊ぶことになっていた12月には、浪人友達に「お前そんなんじゃ差つけられるぞ」と注意されるも、自分の計画を実行しつづける(つまり遊び続ける)。


そして、1月から切り替え。

2月には、「もう疲れた・・・」とつぶやく周りを尻目に勉強を続ける。


その結果、東京大学理科一類に無事合格。


その後、勉強は、わかりやすく、感覚的に理解しやすい伝え方をするべきだという立場にたち、このサイトの運営を続けている。


「夏を制するものが受験を制すわけないだろ、直前期を制したものが受験を制するに決まってる!」と訴えている。


おそらく、直前期は基本的に誰でも制することができると考えて、たるみがちな「夏」にスポットをあてて
「夏を制するものが受験を制す」という言葉が生まれたのであろうが

誰でも直前期を制することができると思ってんじゃねぇぞ、と。俺は、言いたい。うん。



・・・・


ということで。


文庫本とかの後ろについてる「著者紹介」風に書こうと思ったけど、なんか、違う感じになったなw 言いたいこと言っただけみたいになってしまったw

posted by 真田正大 at 12:25 | Comment(11) | TrackBack(0) | 全般
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