今回は、漸化式がどういうものか、っていう勉強です。
厳密には、漸化式とは、
１つ以上の判明しているモノがあり、
それがわかっていることにより別のモノが判明し、
それがわかっていることによって次の・・・・と、
順々に確定させていくことができる関係式のことなんですがー
ここでは、その中の最初のところ、数列の「隣接ニ項間漸化式」について扱います。
隣接二項間漸化式とは、その名の通り、隣り合う２つの項の間の関係を表す漸化式のことで
ある項がわかると次の項がわかり、その次の項がわかり、その次の・・・と順番に判明する奴のことです。
以下、「漸化式」と言ったらこの「隣接ニ項間漸化式」のことを指します。
それを了解していただいて、
さて、漸化式ってどんな奴なのか。
例えばこんな奴。
an+1=an+5
ある項がわかったら、その次にくる数字は、その「ある項」に５を足したもの、っていう意味ですね☆
どういう数列か。
答えは、公差５の等差数列です。
あとは、初項がわかれば、最初から順に全ての項がわかりますねｂ
初項が１なら１，６，１１，１６、・・・・
初項が-2なら、−２，３，８，１３，１８、・・・・・・
例えば他にはこんな奴。
an+1=3an
ある項がわかったら、その次の数字は、その「ある項」の３倍になる。
公比３の等比数列ですｂ
あとは初項がわかれば、すべての項が順番にわかるんですよ。
初項が１なら、１,３，９，２７，８１、・・・・・
初項が０なら、０,０，０，０，０，０、・・・・・全部０。
そうなんですよ。
数列では、隣り合う２項の間の関係、それと、初項、この二つがわかれば、全部の項がわかるんですｂ
漸化式なら、等差でも等比でもないような数列を、式で表現することができます。
an+1=2an+1
ある項があるとき、それを２倍して１を足したものが、次の項になる。
１，３，７，１５，３１，６３、１２７、・・・・
んね☆
んまー、最初に述べたとおり、ここで扱ってるのは２項間の漸化式であって、３項間の漸化式なんてのや、１個飛ばしの漸化式とか、いろんな形の漸化式があるんですが、それはまた別の機会にまわして、今日はこのへんで。
〜本日のまとめ〜
初項と隣接二項間漸化式があれば、全ての項が定まる。
an+1=an+○・・・等差数列
an+1=○an・・・等比数列
前提記事：等差数列 等比数列
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先ほどは、メールアドレス間違えました。
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リンクに追加しておきましたのでご確認くださいー。
これからもよろしくお願いします。
まあ、学生の赤裸々な記録です。。
今回も判らなかった（涙
もう僕末期ですよ もうちょっと勉強してきます！
心機一転してHNとblog名を変えました！
お手数ですが リンクの方 宜敷御願いします(●´ω｀●)
ではでは！
ブログ読ませて頂きました、とても興味の引くないようでした。
また、読みにきますね(・ω・)ノ
了解です！
更新しておきましたので、よければご確認くださいな〜
>かつらさん
ありがとうございます！そう言っていただけると励みになります！
・・・・と言っても最近更新サボってますけどね・・・ 忙しくて。
そろそろ何か記事かくとするかな。
是非また来てください☆
初カキコです。
今日期末テストの結果（数一）が赤点２９だったので。。。
見てみました・・・
高校といえば・・・遊べると思ったのになぁ・・・泣
もしよかったらきてください！
いやいや〜高校は遊んどくべきだと思いますよｗ まあ、受験生になるまでは、ですけど☆
カキコありがとうございます！
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漸化式は何も隣接項間の関係式である必要はないと思います。
例えば、次の漸化式で定義される数列{a_n}を考えることも可能だとは思います。
a_(n+2)=3a_n + n!, a_1 = 1, a_2 = 5
※ただし、_は添え字を表します。
漸化式とは、数列ないし関数列のある元と元の間に成り立つ関係式である、というのが正確ではないかと思います。
ただし、高校生にも分かり易く説明するのであれば、このような抽象的な表現は避けた方が良いようにも思えるし……かといって、隣接していない２項間の漸化式も大学入試まで考えると出題されうるだろうし…ジレンマですね。
よくわかりません。
>労働党さん
よくわかりません。
>magazinn55さん
現在このブログは管理人の僕の都合で更新が滞っています。ですので、確かに登録は僕にとてもメリットのあることですが、今回は見送らせていただきます。再びしっかり更新できるようになったら、また検討させていただきます。
>1浪さん
そうですね。確かに、必ずしも隣り合う必要はないですね。むしろ、大学入試まで考えれば三項間漸化式や二つの数列の間に成り立つ漸化式などもありますね。一応、誤解を防ぐべく、上から２行目３行目に文章を書いておきました。また、この記事の目的はとりあえず「漸化式」っていうのはどういう感じのものなのか、という基本部分を理解してもらうことが目的なので、他の漸化式のバリエーションについては基本的に触れませんでした。
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を、お暇な時間にでも覗いていただけたら幸いです♪
特性方程式とかα、βを使って恒等式で一旦変形して解くとか、感で解くとか
一定の解き方がないせいでしょうね。
真田正大
そうかもしれませんね。
特性方程式等は、「何でいきなりそんなことすんの？」というような解法を使ったりするので、ピンときにくいものがありますし。
その辺の技術的な部分も記事でとりあげてみたいと思っています。
もりもりワクワク勉強の意欲がわきます。
http://www.seishunmath.com/
感謝感激ですっ‼
（レポートを書いていたので。）
ちなみに、漸化式の冪乗根の位置に+が付いた公式があるのですが、この+が付く意味って分かりますでしょうか？イメージ：(漸化式)^+
漸化式が分数にはならない、という意味で理解をしようと思っておりますが、何処にも載っていないので・・