2007年01月06日

漸化式って何?


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前提記事:等差数列 等比数列


今回は、漸化式がどういうものか、っていう勉強です。


厳密には、漸化式とは、

1つ以上の判明しているモノがあり

それがわかっていることにより別のモノが判明し

それがわかっていることによって次の・・・・と、

順々に確定させていくことができる関係式のことなんですがー


ここでは、その中の最初のところ、数列の「隣接ニ項間漸化式」について扱います。

隣接二項間漸化式とは、その名の通り、隣り合う2つの項の間の関係を表す漸化式のことで

ある項がわかると次の項がわかり、その次の項がわかり、その次の・・・と順番に判明する奴のことです。


以下、「漸化式」と言ったらこの「隣接ニ項間漸化式」のことを指します。


それを了解していただいて、

さて、漸化式ってどんな奴なのか






例えばこんな奴。

an+1=an+5


ある項がわかったら、その次にくる数字は、その「ある項」に5を足したもの、っていう意味ですね☆


どういう数列か。


答えは、公差5の等差数列です。



あとは、初項がわかれば、最初から順に全ての項がわかりますねb

初項が1なら1,6,11,16、・・・・

初項が-2なら、−2,3,8,13,18、・・・・・・



例えば他にはこんな奴。


an+1=3an


ある項がわかったら、その次の数字は、その「ある項」の3倍になる。


公比3の等比数列ですb


あとは初項がわかれば、すべての項が順番にわかるんですよ。

初項が1なら、1,3,9,27,81、・・・・・

初項が0なら、0,0,0,0,0,0、・・・・・全部0。



そうなんですよ。


数列では、隣り合う2項の間の関係、それと、初項この二つがわかれば、全部の項がわかるんですb



漸化式なら、等差でも等比でもないような数列を、式で表現することができます。


an+1=2an+1

ある項があるとき、それを2倍して1を足したものが、次の項になる。

1,3,7,15,31,63、127、・・・・



んね☆



んまー、最初に述べたとおり、ここで扱ってるのは2項間の漸化式であって、3項間の漸化式なんてのや、1個飛ばしの漸化式とか、いろんな形の漸化式があるんですが、それはまた別の機会にまわして、今日はこのへんで。





〜本日のまとめ〜

初項と隣接二項間漸化式があれば、全ての項が定まる。
an+1=an+○・・・等差数列
an+1=○an・・・等比数列


前提記事:等差数列 等比数列

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posted by 真田正大 at 13:51 | Comment(24) | TrackBack(0) | 数列
この記事へのコメント
もしよければ相互りんくをお願いします。
Posted by at 2007年02月23日 18:41
もしよければ相互リンクをお願いします。
先ほどは、メールアドレス間違えました。
Posted by at 2007年02月23日 18:43
もしよければ相互リンクをお願いします。
先ほどは、メールアドレス間違えました。
Posted by りゅう at 2007年02月23日 18:44
ブログを拝見させていただきましたが、あれですね、全然オッケーです(笑
リンクに追加しておきましたのでご確認くださいー。
Posted by 真田正大 at 2007年03月03日 16:31
ありがとうございます。
これからもよろしくお願いします。
Posted by at 2007年03月03日 17:13
相互リンク希望です。。

まあ、学生の赤裸々な記録です。。
Posted by rustler at 2007年03月12日 19:58
もちろんOKです!相互リンク、ありがとうございます!今後ともよろしくおねがいいたします。
Posted by 真田正大 at 2007年03月17日 18:39
うわー
今回も判らなかった(涙

もう僕末期ですよ もうちょっと勉強してきます!



心機一転してHNとblog名を変えました!
お手数ですが リンクの方 宜敷御願いします(●´ω`●)


ではでは!
Posted by 狐女改めオリゴケトン at 2007年03月31日 14:28
はじめまして。

ブログ読ませて頂きました、とても興味の引くないようでした。

また、読みにきますね(・ω・)ノ
Posted by かつら at 2007年04月06日 14:26
>オリゴケトンさん
了解です!
更新しておきましたので、よければご確認くださいな〜

>かつらさん
ありがとうございます!そう言っていただけると励みになります!
・・・・と言っても最近更新サボってますけどね・・・ 忙しくて。
そろそろ何か記事かくとするかな。
是非また来てください☆
Posted by 真田正大 at 2007年04月07日 17:47
スイレン と述べた グラバカ の検索結果 約 武装闘争継続 パタ は特にタイのイスラ ハンバーグ 」と主張 提案
Posted by 戦略 at 2007年06月23日 11:53
どーも!
初カキコです。
今日期末テストの結果(数一)が赤点29だったので。。。
見てみました・・・
高校といえば・・・遊べると思ったのになぁ・・・泣

もしよかったらきてください!
Posted by トッポ at 2007年07月06日 22:44
テストお疲れさまですw
いやいや〜高校は遊んどくべきだと思いますよw まあ、受験生になるまでは、ですけど☆
カキコありがとうございます!
Posted by 真田正大 at 2007年07月07日 19:05
議席増を狙う の比例代表制で ワールド を終 の情報 リボンは取り外し可能です 和ブログ傘 この判断により 犯行 摘されている
Posted by リボンは取り外し可能です at 2007年07月08日 08:21
野いちご 実施されるゲイ 月に最悪記録と ハンバーグ サンタが街にやってきた 訴えを起こすとしている 死亡したイラクの 連イラク支援団 画面上へ グラバカ
Posted by 労働党 at 2007年08月17日 18:39
突然ですが、もし、さしつかえなければ、
私のサイトに、あなた様の
ブログを登録していただけないでしょうか。
ランキングを楽しんだり、
さまざまなブログを拝見したり、
ブログライフの引き出しとして、
お願いできないでしょうか。
こちらのサイトです。
http://www.p-netbanking.jp
是非、御願いします。
Posted by magazinn55 at 2007年09月01日 21:16
漸化式についてコメントです。

漸化式は何も隣接項間の関係式である必要はないと思います。
例えば、次の漸化式で定義される数列{a_n}を考えることも可能だとは思います。

a_(n+2)=3a_n + n!, a_1 = 1, a_2 = 5

※ただし、_は添え字を表します。

漸化式とは、数列ないし関数列のある元と元の間に成り立つ関係式である、というのが正確ではないかと思います。
ただし、高校生にも分かり易く説明するのであれば、このような抽象的な表現は避けた方が良いようにも思えるし……かといって、隣接していない2項間の漸化式も大学入試まで考えると出題されうるだろうし…ジレンマですね。
Posted by 1浪 at 2007年09月06日 17:26
>リボンは取り外し可能ですさん
よくわかりません。
>労働党さん
よくわかりません。

>magazinn55さん
現在このブログは管理人の僕の都合で更新が滞っています。ですので、確かに登録は僕にとてもメリットのあることですが、今回は見送らせていただきます。再びしっかり更新できるようになったら、また検討させていただきます。

>1浪さん
そうですね。確かに、必ずしも隣り合う必要はないですね。むしろ、大学入試まで考えれば三項間漸化式や二つの数列の間に成り立つ漸化式などもありますね。一応、誤解を防ぐべく、上から2行目3行目に文章を書いておきました。また、この記事の目的はとりあえず「漸化式」っていうのはどういう感じのものなのか、という基本部分を理解してもらうことが目的なので、他の漸化式のバリエーションについては基本的に触れませんでした。
Posted by 真田正大 at 2007年09月15日 21:48
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Posted by 野いちご at 2007年09月28日 20:54
初めまして、クリスマス@一人ですっ!
是非とも、
このブログをCliPeDiaに投稿して欲しいっすっ!
高校生に大学生、社会人に主婦の方…色々な方にブログを投稿していただいて賑やかに仲良くやっているサイトですっ!!
詳しくは運営ブログ
http://clipedia.jp/blog/?p=54
またはHP
http://clipedia.jp/
を、お暇な時間にでも覗いていただけたら幸いです♪
Posted by クリスマス@一人 at 2007年10月29日 14:31
何かいっぱい、コメントがあるようです。やはりこれは漸化式の難しさを示唆してる事なんでしょう。
特性方程式とかα、βを使って恒等式で一旦変形して解くとか、感で解くとか
一定の解き方がないせいでしょうね。

真田正大
そうかもしれませんね。
特性方程式等は、「何でいきなりそんなことすんの?」というような解法を使ったりするので、ピンときにくいものがありますし。
その辺の技術的な部分も記事でとりあげてみたいと思っています。
Posted by ムラカミ at 2010年03月26日 10:29
こちら面白いですよ。

もりもりワクワク勉強の意欲がわきます。


http://www.seishunmath.com/
Posted by zun at 2012年07月05日 22:07
めっちゃわかりよいです!
感謝感激ですっ‼
(レポートを書いていたので。)
Posted by わあーーお at 2013年05月05日 15:12
とてもわかりやすくて助かりました!
ちなみに、漸化式の冪乗根の位置に+が付いた公式があるのですが、この+が付く意味って分かりますでしょうか?イメージ:(漸化式)^+
漸化式が分数にはならない、という意味で理解をしようと思っておりますが、何処にも載っていないので・・
Posted by th at 2015年08月19日 14:52
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