2011年11月19日

積分で面積が求められる理由


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ある関数f(x)の、x=aからx=bまでの面積を求めたいとき、

その微分前の関数F(x)を考えて、

F(b)-F(a)とすると、面積が求められる。

高校ではこう習います。


しかし、

何故これで面積が求められるのか


が、あまり説明されません。


「とにかく!微分前の関数を求めて、aとbを入れて差を出せば、面積が出るんだよ!覚えろ!」


という感じです。


「何故だ!何故なんだ!」と思いながらも仕方なく黙って受け入れて使っている人も多いと思います。


ここではそれを説明します。



まず、F(x)という関数を微分することを考えてみましょう。


F'(x)=f(x)


とします。


differential1.jpg

これを図で考えて微分します



まず、これを、縦にザクザク切り刻みます


differential2.jpg

切り刻みの幅はΔxです。



この、黄色い縦線で仕切られた各エリア内でF(x)の変化した量

左から順に

ΔF1、ΔF2、ΔF3、・・・

とおきます。


differential3.jpg


4,5,6,7番目は、F(x)が減少しているので、ΔFはマイナスになります。



これを使って、F'(x)=f(x)のグラフを求めます。


f(x)の値は、F(x)の傾きです。つまりΔF/Δx


なので、f(x)の値は、左端から順に、

ΔF1/Δx ΔF2/Δx ΔF3/Δx ΔF4/Δx ・・・

となります。


differential4.jpg



これにうまく沿うように線を引きます。


differential5.jpg


さて。これでy=f(x)のグラフがかけました。



これが、微分です。



いや、全然ちゃんと微分したわけではないですが、切り刻みを細く細く、Δxを小さく小さくしていけば、微分になります。

わかりやすくするため、少し大ざっぱな切り刻み具合でお送りしております。




・・・さて。



今回のテーマは微分ではなく積分でした。



今使った考え方をもとに、y=f(x)のグラフの面積を求めてみましょう!



y=f(x)の、x=aからx=bまでの面積を求めてみましょう。


differential6.jpg




3ブロックにわかれています。



この3ブロックの面積の合計が、だいたい、求めたい面積になります。


切り刻みを細かくすればするほど、ブロック数が増え、ブロックの面積の合計は求めたい面積に近くなっていきます。



で!ここで、さっきの図に戻ります。


この3ブロックの面積の合計って、その微分前であるF(x)を使ったら、求められる気がしません?


differential7.jpg

画像の左側に注目してください。


一番左のブロックの面積は、縦×横でΔF1

同様に、二番目のブロックの面積はΔF2、三番目はΔF3



つまり、求めたい面積は

ΔF1+ΔF2+ΔF3で求められる
ということになる!



ところで、この ΔF1+ΔF2+ΔF3 という値

differential8.jpg


この画像の、赤い矢印で示した長さが、まさに

ΔF1+ΔF2+ΔF3

という値になっているわけで、そしてこの値こそが


F(b)-F(a)

になっているわけです!





y=f(x)のグラフのx=aからx=bの面積を求めるときは

微分前のグラフを求めてF(b)-F(a)を計算する。

微分前のグラフを求めるには、上で微分をやったのと逆の動作をする。


つまり、

y=f(x)のグラフを幅Δxで切り刻んでブロック分けして

それぞれのブロックの縦の長さをΔx倍して

となり同士のブロックの角と角が合うように並べる

すると、y=F(x)、つまり微分前のグラフが現れているので、

F(b)-F(a)を計算すれば、求めたい面積が求められる。


ということなのです!



次は、先ほどから使っているこのグラフy=f(x)の左端から右端までの積分を求めてみましょう。

左端はすでにaとおいてあります。右端はcとしましょう。


x軸の上にいったり下にいったりするグラフ(値が正になってり負になったりする関数)を積分すると、

(x軸の上にある部分の面積)-(x軸の下にある部分の面積)

が出てきますが


何故このようになるのかも、これで説明がつきます。


今回、ΔF4、ΔF5、ΔF6、ΔF7は負の値です。


これらが、y=f(x)のx軸より下の部分の面積を表しているわけです。


そして、ΔF1からΔF10までを全部足すと、F(c)-F(a)になるわけです。


differential9.jpg



以上!これで、何故微分前の関数を使って面積が求められるのか、おわかりいただけましたでしょうか!



〜まとめ〜

y=f(x)のグラフのx=aからx=bの面積を求めるときは
y=f(x)のグラフを幅Δxで切り刻んでブロック分けして
それぞれのブロックの縦の長さをΔx倍して
となり同士のブロックの角と角が合うように並べる
すると、y=F(x)、つまり微分前のグラフが現れているので、
F(b)-F(a)を計算すれば、求めたい面積が求められる。



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posted by 真田正大 at 23:29 | Comment(12) | TrackBack(2) | 全般
この記事へのコメント
今ちょうど微積をやってるんですが、
ここのサイトを拝見して、より深い理解を得ることができました。
ありがとうございます!
Posted by 現役高2男子 at 2012年04月20日 22:41
大変興味深く読ませて頂きました。積分という学問の美しいところは、関数がどんな形をしていても、それが積分可能な式で表すことができるのであれば、曲線が積分範囲の中でアップダウンがあったとしても、面積を始点と終点の値だけで求めることができてしまうというところだと思います。

世の中に出て、実際に積分を使って面積を求めることは殆どありません。なので、頑張って計算方法を覚えるよりも、どうやってこのような美しい考え方が出てきたのかを多くの人に知ってもらいたいですね。素晴らしい記事です。
Posted by 飛田 基 at 2012年05月11日 00:15
ありがとうございました。
本当に役立ちました。
数学を直感的に理解できるよう頑張ってましたが、教科書や参考書だけでは堅苦しく、難しかったです。
こういうのこそ、教科書に乗っけてほしいですね!
Posted by はまや at 2012年06月05日 06:18
面積=横×高さ
  =Δx{F(c)-F(a)}

となると思うんですが、

面積=F(c)-F(a)

ですよね。Δxはどこ行っちゃったんでしょうか?
Δx=1 では微積ではないですし…

Posted by 高3生 at 2012年07月19日 12:17
高さは ΔF/Δx でしたか。

すみません、よく見てませんでした。
Posted by 高3生 at 2012年07月24日 20:45
わかりやすいっす。ありがとうございました。
Posted by 数学 at 2013年02月18日 23:05
今週、学年末テストがありますダッシュ


このブログを参考にがんばりますダッシュ


変わらないことがあったらコメントさせていただきますダッシュ


教えてくださったらうれしいですダッシュ
Posted by 私立中3 at 2013年03月03日 15:36
今週、学年末テストがありますダッシュ


このブログを参考にがんばりますダッシュ


変わらないことがあったらコメントさせてくださいダッシュ


教えてくださったらうれしいですダッシュ
Posted by 私立中3 at 2013年03月03日 15:36
スッキリ!
2日かけて他のいろいろなサイトの説明を読みましたがイマイチ。
でも、このページの説明は5分で理解できました。
こんなにわかりやすい説明は見たことないです
素晴らしい!
Posted by 積分を勉強し直してるおじさん at 2013年04月26日 14:29
前にもこのサイトの解説に助けられました。
今回も、です。ありがとうございます。


さて、初読の際、高3生さんと同様の疑問を抱き、
再読して、私の解釈の誤りに気づくことができました。
同様の疑問を抱く方がほかにもいらっしゃるかもしれませんので、一応、私が躓いたところを記しておきます。

------
F(x)を微分した結果として得られたf(x)の「値域の値」が「ΔF/Δx」である、という事実をはっきりと意識することができず、

ゆえに、

>一番左のブロックの面積は、縦×横でΔF1

この記述をするーっとスルーしてしまいました。
頭の中では、

(正)(ΔF1/Δx) × (Δx) = ΔF1

と解釈すべきところを、

(誤)(ΔF1) × (Δx) = ΔF1・Δx じゃ??!

と誤解してしまい、あれ???となりました。

------

高3生さん、貴方の書き込みが無ければ、私はもっと時間をかけて悩んでいたかも知れません。

ありがとう。
Posted by fujipon at 2013年05月06日 16:55
どうやら2vpmyzてしまったようでとても残念です……
Posted by cos90゚ at 2014年03月24日 04:21
とても分かりやすかったのですが、どうやら3年前で更新が途絶えてしまったようで、とても残念ですね……
Posted by cos90゚ at 2014年03月24日 04:21
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