2006年06月19日

微分のやり方、微分の意味


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発展記事:微分の意味2

さー、いよいよ、高校数学の醍醐味、「微分・積分」のカテゴリに突入です!


まずは、微分の基礎編から。



微分を簡単に説明するとー


接線の傾きを求める。



これだけ☆






もうちょい詳しく言うと


ある関数のグラフの、傾きの変化をグラフに表したもの。これが導関数、すなわち「微分して求めたもの。」



簡単な例をあげると、

y=x^2 を微分します。すると y=2x になるんですが

これが何かというと



「y=x^2のグラフの、傾き具合をグラフに表したもの」になるわけですよ。



y=x^2のグラフって、xがマイナスのときは、右下がりですよね?


右下がりのとき、傾きはマイナスです。

さらに、xがマイナスの時、左から右へ行けばいくほど、傾きの急さというか鋭さというか、傾きが緩くなっていきますよね?


傾きが緩くなるってことは、傾きが0に近づいていくってこと。



だから、x^2のグラフの傾きを左から見ていくと、

マイナスの大きい値から、段々0に近づいてくるんですよ。




次に、x=0のとき、x^2のグラフの傾きは、水平、つまり0です。



さらに次に、x>0のとき。つまりグラフの右半分ですがー


x^2のグラフの右半分は、xの値が大きくなるにつれて、傾きがどんどん大きくなっています。




つまり、y=x^2のグラフの傾きに注目すると


傾きはマイナスの値からどんどん上がってきて、0を通って、どんどん大きくなっていく。ってことになります。



そして、これを、具体的に数値で表してグラフを書くと



見事に、「y=2x」のグラフになるんですよ!




わかりました? これが微分。





んさてさて。




次は、微分のやり方なんですがー




もう、こんなん規則的にやっていくことができます。

例えば「y=なんたらかんたら」って関数は、

例えば、y=2x^3+5x^2-x+5のように



y=ax^n+bx^(n-1)+cx^(n-2)+・・・・・ となりますよね。



これを微分するとー



y'=anx^(n-1)+b(n-1)x^(n-2)+c(n-2)x^(n-3)・・・・ となります!



上の例「y=2x^3+5x^2-x+5」を持ってくるなら


y'=6x^2+10x-1 となります。「+5」の部分は無視してかまいません。




どうして「+5」の部分は無視できるかというと


最初に言ったように、微分ってのは、接線の傾きを求めるわけですよ。


グラフが上下に(y軸方向に)どれだけ移動したって、各部分における接線の傾きはかわりませんよね?




ここで、上と同じようにy=2x^3+5x^2-x+5のグラフを書いてその傾きを見ると

各部分での傾きは、見事に6x^2+10x-1になってるわけですよ!




・・・。





微分の基本的な話は、これで終わりです。


ここでもう一つ例をあげて今回の更新はおわっときましょうか





y=x^3のグラフを書くとします。  ちなみにy=x^3を微分すると何になるかわかりますよね、y'=3x^2になるんですが



まず、このグラフ、x=0の瞬間を除いて、常に右上がりになるってことはわかりますか?


xがマイナスのときはyもマイナスだし、xがプラスならyもプラス。



そしてその傾きは


xが左のほうから0に近づいてくると、傾きはどんどん急→緩になってますよね。


そして、x=0の瞬間、傾きも0。


そこから右へ進んでいくと、傾きは再びどんどん急になっていきます。




さてさて。


傾きの変化を表したグラフを書いてみましょうか!



まず、x=0の瞬間にyも0になることがわかります

そして、それ以外のとき、傾きは常に右上がり、つまり正の値になることがわかります


次に、x=0から、右にも左にも、離れれば離れるほど傾きが急になってるのがわかります。つまり、y'の値が大きくなる、ってこと




さて。


どんなグラフを思い浮かべました?




左上のほうから段々下がってきて、緩やかにカーブを描いて(0,0)を通り、どんどん傾きを急にしながら右上に上っていく。



そうです、放物線、二次関数のグラフになるんですよ。



そしてこれこそが、最初にもとめた、「y=x^3」の微分、「y'=3x^2」になるわけです。


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posted by 真田正大 at 00:40 | Comment(7) | TrackBack(0) | 微分
この記事へのコメント


名前…変えました♪〃

とりあえず報告に参りました§☆⌒(人u∀uο)


馬鹿チンなあたしには内容にはついていけなくなっています…泣

真田さんはいつも頑張ってますね!尊敬の意ッ★

Posted by たっき-改め《まリ》 at 2006年06月20日 22:14
最近課題や部活で時間削られてます。でも、「課題やるぞー」っつって睡眠時間削ったら本末転倒だからなぁw(授業に身が入らなくなるため
授業に集中するために睡眠時間確保しようとすると、更新を削るという結論に・・・いかんなぁ♪

どうも、名前了解しました☆

あとー、内容かー、しまったなぁ、「誰でもが読んだらわかる」を目指すつもりだったのに!
というわけで、夏休みあたりに見直して書き直しますb(先延ばし♪)
Posted by 真田正大 at 2006年06月21日 22:41

内容は変えなくても大丈夫だと思いますよ??
あたしが馬鹿なだけやし…今まで習った事ないような事を真田サンが書いてるから★
あたしの頭の中で整理がつかないだけですので…
お気になさらずに…
Posted by まリ at 2006年06月24日 07:55
でも、中学の勉強と違って、ここまでくるともう、「わかりやすく説明」ってこと自体が結構難しくなっちゃったりするんですよねw
・・でも、できるだけわかりやすくいく、がこのブログのモットーなので、わかりにくいところあったら言ってください!
あと、ギャグも適当に盛り込もうと考えてます。みんな、笑え(命令形
Posted by 真田正大 at 2006年06月27日 19:44
馬鹿で申し訳ないのですが
まったく数学を理解できない私には何の役にも立たず・・・^^;
もしわかりやすい、をテーマにしているなら馬鹿にはまず「A=B」のように完成した式を先に挙げていただいて、なぜそのような計算になるのか順を追って一切省略をせずに式を書いてくださればとても助かります。
数学嫌いの私からすれば
y=ax^n+bx^(n-1)+cx^(n-2)+・・・・・ となりますよね。
の時点で投げてます(笑)何を言っているのか授業を一度聞いているにもかかわらずまったくわかりません。
なんだか失礼なコメントのようになってしまいましたが馬鹿の本音です。すこし検討してやってくださいませ。
Posted by ほほ at 2012年01月06日 14:44
y=x^2のxと2の間の「^」って何を表しているのですか?
急いでいて迷惑だと思いますが
早めのコメント返信願います

すいません(泣)
お願いします
Posted by あすか at 2013年01月31日 17:45
横からすみません。
あすかさん、
^ は 「○乗」の意味です。

x^2 とあれば、

「xの2乗」の意味です。

特にコンピュータ上ではこのように表現されます。

Posted by c at 2014年01月24日 14:02
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