2006年06月12日

等比数列とは


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発展記事:和の記号Σ 漸化式

今回の記事は、等比数列について!

等比数列がどういうものかというとですねぇ・・・


その名の通り、同じ比で増えていく数列。


等差数列が、同じ差で増える、すなわち例えば「4、7、10、13、16、・・・」のような数列だったことを考えると、

等比数列、大体想像つきますか??




等比数列は、例えばこんなん



3、6、12、24、48、96、・・・みたいな数列のこと。




2倍、2倍、2倍、2倍・・・比率が等しいから等比数列


他には、
「2、-6、18、-54、162、・・・」とか
「1、2/1、1/4、1/8、1/16、・・・」みたいなのも等比数列にになってるってこと、わかります?


上は、-3倍、-3倍、-3倍・・となってる

下は、1/2倍、1/2倍、1/2倍・・・というふうになってるb




公比が-1の数列なんか、同じ数字で、プラスとマイナスが交互にかわってるだけの数列のくせに「等比数列」なんて称号をもらっちゃってたりするからね


ああ、公比ってのは、比率のことです。


一つ目の数列なら2、二つ目は-3、三つ目の数列なら1/2。



んで。


さて。


等比数列がなんなのかわかったところで、一般項を求めましょうか。




あれだからね、等差数列のときと一緒だけど、

数列記事のメインは


一般項数列の和だから。



まずは一般項。



初項をa、公比をとしますね。んで、第n項をanと表すとするとですねぇ


aは、初項だから、当然a1=a

a2は、初項をr倍したものです。だから、a2=ar


a3は、第2項をr倍したもの。だから、a3ar×ar2



同様にしてa4=ar3、a5=ar4・・・



一般項の表し方、そろそろ気づいてきました?。



初項a、公比rの等比数列の一般項をanとすると


an=arn-1


です。


初項に、公比をn-1回かける。n回かけたらかけすぎですよ。





初項を、「公比を『第何項っていう数字より1小さい数』乗したもの」倍する。






んさてさて。


今回の記事のメイン情報二つ目、「等比数列の和」。


公式はこんなやつです。



n={a(1-rn)}/(1-r)

n={a(rn-1)}/(r-1)


って奴。

どちらもまったく同じものを表してます。



下の式は、上の式の分母と分子の両方に(-1)をかけるだけ。


分数は、分母と分子に同じ数をかけても値は変わらないからね



あ、そうそう、公式に追加。


ただし、r=1のとき、n=na


これはなんでかっていうと、r=1のときに上の公式に当てはめれば一瞬でわかります。


うん。 数学のタブーが現れてしまいますね☆(わからない人へ→1-1=0ですよ?数学においては分母に0は来てはいけn・・・)

んまあ、r=1ってことは同じ数字がひたすら並んでるだけだから、ぶっちゃけこのSn=naを使うことはまずありません




だからまぁ、上の二つがメインになりますね。


あ、そうそう。


何で二つあるか、ってことなんだけど、公比 r が1より小さいときは一つ目、

公比 r が1より大きいときは二つ目の式を使います。


なぜかって? 分母を見てやってくだせぇよ。


分母がマイナスになると計算が面倒じゃないですか。




というわけで。


単純に、「分母にくる負の数を嫌った結果二つ生まれちゃった☆」というわけなんですねぇ♪





さて。この公式、いまいち感覚的にピンときにくいですよね。



実は僕もまだこの公式の感覚的にわかりやすい捉え方を発見できていません。


とりあえず今はこのまま覚えてください。

または、導出方法を理解してみてください。

r倍して引き算する方法や、xn-1の因数分解を利用する方法があります。


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posted by 真田正大 at 22:28 | Comment(5) | TrackBack(0) | 数列
この記事へのコメント
書き有難うございます☆


ですよね〜
置き勉は自分の教室のロッカーです(^^)v

着替えは教室です(笑)
女子校なんで♪
Posted by オザコ at 2006年06月13日 19:55
あ、足りてるかw
僕は着替えとか体育館シューズとか全部部室においてるからw

s−、女子高かぁ!なるほど、そりゃあ着替えには困らないな笑
Posted by 真田正大 at 2006年06月13日 22:07
コメントありがとうございますw
って凄いですね!このHPっ!!
現役にとってはなんともありがたいHPですよ!
ちょこちょこ来させてもらいます(^_^)v


さてさて、ポンツカとはですねぇーバンプがやってるラジオの名前なんですよ。
bayFMという千葉のFM局のラジオなんでインターネット放送でしか聴けないんですけどね(>_<)
Posted by nikke♀ at 2006年06月13日 23:59
ありがとうございます、今後もガリガリ更新していくので、もしよかったら、かつお暇なようでしたらよろしくおねがいします(腰低

インターネット放送で聞けるんですか?!いやー、普通のラジオあんまり聞かないもんでw あー、探してみようかなぁ
Posted by 真田正大 at 2006年06月14日 21:12
とても分かりやすいのですが、
私だけかもしれませんが
青文字がとても見づらかったです・・・
Posted by 名無し at 2013年05月23日 18:48
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