2006年06月11日

不等式、その領域


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不等式って、グラフを書くとどうなると思いますか?

たとえば、y≦3


座標の、y=3のところに水平な直線を引いて、そこから下が全部この不等式を満たすエリアになります。

わかりますか?

yが3以下になってる部分、ってこと。



というわけで、


不等式のグラフを書くと、線とか点じゃなくて、「領域」になります。




例えば、y>xのグラフだと、y=xのナナメ直線を引いて、そこから上の部分全体、ということになる。


yがxより大きい部分、という意味だから、xが2のトコならyは2より大きい部分全部、xが0のところなら、yは正の部分全体。


ただし。


「>」に注目。


「=」が入ってません。



だから、注意書きをつけるわけですよ


「ただし、境界線を含まない。」と。


なぜなのか。


わかりますよね?


境界線の部分は、「y=x」になってしまい、「y>x」の範囲には入っていません。

それよりほんの少しでもyが大きければ、成り立ちます。




というふうにですね、領域を書いたら、境界線を含むかどうか注意書きがいるわけですよ



例えば、一番上に書いた「y≦3」なら、図を書いて「求める領域は図の斜線部分」的なことを書いたあとに


「ただし、境界線を含む。」と書かなければ、数学の先生は喜んで減点します。

この注意書きがあるかどうかで減点できるかどうか、奴らは狙ってます(w



はい。



領域」の基本的な話は、これだけです。




そうそう、与えられる不等式が2つ以上になることがあります。


「連立不等式」ってやつですな




与えられた式の領域が重なる部分、ってことです。




二次関数になっても同じね。



y≦-(x-2)2+3なんて不等式の場合。



y=-x2のグラフを、x軸方向(つまり右)に2、y軸方向(つまり上)に3、平行移動したグラフを書いて

そのグラフの下側(内側と言うべきか?w)にバーッと斜線斜線ひいて


「求める領域は図の斜線部分。ただし境界線を含む。」て書いたら終わり。



大体同じ感じで全部いける、っていう感じが、してきましたか?


してきたら、オッケーですb




ただ、ちょっと形が違う不等式もあります。



円の不等式。




x2+y2<r2なんて場合。



rって半径でしたよね?だから、rは半径の2乗。

x2+y2は、中心からの距離の2乗。(正確には「√」がつくけど、式を見やすくするために全体を2乗にして公式が作られた)


中心からの距離の2乗よりも円の半径rの2乗の方が大きくなるようなエリアを指してるわけですよ!この不等式は。


つまり。



この不等式の領域を書くには、原点を中心にした半径rの円を書き、その内側を斜線でバーッと塗りつぶし

「求める領域は図の斜線部分。ただし境界線を含まない」なんて書けば終わり。



まとめるとー



(x-a)2+(y-b)2<r2 は円の内側
(x-a)2+(y-b)2>r2 は円の外側。


記号がそれぞれ≦とか≧にかわっても、「境界線を含むかどうか」がかわるだけで、外側か内側かはかわりません。

2のほうが大きくなってれば内側、r2のほうが小さくなってれば外側。

中心からの距離が円の半径より大きいか小さいか、大きければ外側、小さければ内側。

おk?



おーけーおーけーb




領域で知っておくべき基本事項はこのくらいです。


あとは、発想を転換して応用して問題解きましょう♪

それが簡単にできたら数学で苦労なんかしないわけですけどね!!




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posted by 真田正大 at 23:24 | Comment(5) | TrackBack(0) | 図形と方程式
この記事へのコメント
わかりやすいです!w参考になりましたー
Posted by 匿名 at 2007年11月26日 01:23
ありがとうございます!やー、わかりやすいって言っていただけるとやっぱりうれしいですね(笑)
Posted by 真田正大 at 2008年04月03日 00:38
テスト日の電車の中で読ませてもらいましたw
分かり易いです。理解しました。

真田正大
ありがとうございます!
お役に立てて何よりです。
ところで、電車の中で読まれたということは、携帯でアクセスされたということでしょうか?
携帯での当サイトの見やすさについて少し知りたいのですが、いかがでしたか?僕としては結構読みにくんじゃないかと思うんですが・・・
Posted by まかろに at 2010年06月08日 08:17
さっきちょっと質問なんですが、が抜けて申し訳ありません。下から15行目の外側は内側ではないでしょうか?

真田正大
大丈夫ですよ。
ご指摘の点についてはその通りでした。訂正しておきました。ありがとうございました。
Posted by 困ってます at 2011年08月05日 15:09
よく分かりました。ただ、境界線と境界の違いを教えて下さい。私が高校時代、境界と習ったような気がします。

真田正大
ここでは「境界」も「境界線」も同じものです。「境界」が線になっているので「境界線」と呼んでいます。「ただし境界を含む。」のように書いても問題ありません。
お分かりいただけましたでしょうか。
ちなみに、もし領域が立体的なもの(球など)になった場合、「境界」は「線」ではなく「面」になったりします。ただ、立体的な領域なんて図示できないので、「ただし境界面を含む」なんて書かかされるような問題はでません。
Posted by 上田 公一 at 2011年12月07日 10:12
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