2006年05月23日

円の方程式、円と直線


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前提記事:直線の方程式
発展記事:円の接線


さて。


円の方程式。



原点を中心とし、半径をとする円の方程式はコチラ。

x2+y2=r2



どうしてこれが円を表す方程式になるのか。




円とは、「中心からの距離が等しい点を集めた図形」ですよね。



中心からの距離。原点を中心とすると、中心からの距離は

√(x2+y2)
 ですよね。


これが半径になるから、 √(x2+y2)=r となるわけですよ。


で、このままでもいいんだけど、「√」が入っててわかりにくいから、両辺を2乗した。それだけの話。



次。



中心が原点じゃない場合。


中心が原点じゃないのなら、


原点中心で考えた円を

平行移動すればいい!!




x軸方向にa、y軸方向にbだけ平行移動するとすると



xを(x-a)に、yを(y-b)に置き換える。



なので


点(a,b)を中心とする半径rの円の方程式


(x-a)2+(y-b)2=r2



です!



ちなみに、円の方程式には、表し方がもう一つあります



x2+y2+lx+my+n=0 という表し方。



この式の欠点は、パッと見でどういう図形なのかわからないことですね。




ただ、「3点を通る円の方程式を求めよ」とかいう問題のときには、どうやら使うようです。


面倒ですが、3点の座標をそれぞれ代入して、三元一次方程式を3つ連立させて計算して解いてやりましょう。




次。


直線との関係。




二つの図形の交点って、どうやって求めましたっけ?




うん。思い出して。


交点は
その二つの図形を現す二つの方程式を、連立させて解いた解、だったはずです。



ここから先は、二次方程式のグラフ(放物線)と一次方程式のグラフ(直線)との交点を求めたやり方と、非常に似てます。 ・・・てか同じですw




代入法で直線の式を円の式に代入してー 

っていうふうにして連立方程式を解けば、交点の座標がでますb





ただ、二次方程式になるので、その交点(解)の数が、二つだったり一つだったり、交点がでなかったりもしますがね



交点がいくつでるのかは、判別式Dを計算することでわかります



D=b2-4ac
 ですb




あー、似てるわぁ。二次方程式の解を求めた時と似てるわぁ。




あ、くれぐれも。


交点の座標を、(2i,4)みたいに、虚数で答えたりしないように。



判別式が負のときは、「交点なし」っていうことですからね!




さらにさらに。



円と直線の交点の数の求め方は、実は、判別式Dを使う以外にも方法があるんですねぇ。



ようは、
「円の中心」と、「その直線」の距離が
円の半径より小さければ交点は2つ、等しければ接する(交点は1つ)、
中心と直線の距離が半径より大きければ、交点はなし ってことですよね。



さて。


中心と直線の距離です。



例の、「点と直線の距離を求める公式」 です。




アレで、中心と直線との距離を求めて、半径と比較すれば、一発で交点の数がわかります。





というわけで。円と直線の交点の数の求め方を二つだしたわけですが、どう使い分ければいいんでしょうか。




用は、やりやすいほうを使えばいいんですけどね。どちらかじゃないと解けない、っていう問題はないだろうし。


基本的に後者のほうがラクなような気はするんだけどな。



でも、「共有点を持つとき、定数mの値の範囲を求めよ」とかだと、やっぱり判別式Dを使ったほうがいいのか・・・


前提記事:直線の方程式
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posted by 真田正大 at 22:45 | Comment(1) | TrackBack(0) | 図形と方程式
この記事へのコメント
ありがとうございます。

真田正大
こちらこそ、ご訪問ありがとうございます。
Posted by とい at 2011年06月24日 02:09
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