必要条件、十分条件

今回は、必要条件、十分条件について勉強して！


必要条件とか十分条件とか意味わかんないんだけど、という方も多いんじゃないかと思います


「いや、簡単だろ。矢印が左向いてりゃ必要、右向いてりゃ十分なんだよ。順番的にひっくり返ってる感じな。」って覚えてる方もいるんじゃないかと思います。





butしかし今回は。



なんで矢印が左向いてると「必要」になって、右向いてると「十分」なんだよ、と。



その辺のことをみていこうと思います。


ずばり言いますよ


必要条件とは、必要な条件のことで

十分条件とは、十分な条件のことである！！！！！




…えー、元も子もないですね。でも実は本当にこれだけなんです。


ちょっとわかりやすくするために、「条件」という言葉は「縛り（しばり）」ということで置き換えられる、ということを言っておきます。


もちろん、正しい数学用語ではないのでテストで書くと良くないですが、理解しやすくなるかと。


ではまず。


犬⇒動物

これは間違いないですよね。ロドリゲスが犬ならば、ロドリゲスは動物である。


矢印の向きで考えると、右向きなので

「犬であることは、動物であるための十分条件」ということになります。
言い換えると、「ロドリゲスが犬である、という縛り（しばり）は、ロドリゲスが動物であるためには十分な縛り」ということ。


…。


「犬であることは、動物であるための十分な縛り」って、なんとなくしっくりきません？



犬である、というだけで、動物であるためには十分ですよね。犬なんだから、そりゃ動物でしょうよ、っていう話。



じゃあ、犬であることは、動物であるための必要条件かどうかを考えてみる。

犬であるという縛りは、動物であるために、必要な縛りなのかどうか。


…これ、必要ないんですよね。犬にまで縛らなくても、猫でも馬でもアルパカでもいいわけで。


ということは、犬であることは、動物であるための必要条件ではない、ということです。

なので、犬であることは、動物であるための必要十分条件でもない。

必要十分条件とは、必要条件でなおかつ十分条件であるような奴のことだからね。



これを、数学っぽい話にすりかえてみましょう。


x＝１であることは、x²=1であるための…

…さて、何？


x＝１という条件は、x²＝１であるために、必要なのか、必要ないのか、十分なのか、不十分なのか。


どうでしょう。


見えてきました？


x＝１という条件は、x²=1が成り立つために、十分な縛りです！

何故なら。x＝１という条件（縛り）があれば、それだけでx²=1だからです！！



では、x＝１という縛りは、x²=1であるために必要なしばりなのか？


…。


そこまでの縛りは必要ないですよね。

x＝−１でもいいんだから、x＝１に縛る必要はない。


つまり、x²=1　であるためには、x＝１という縛りは、縛り過ぎなんですよ。


縛り過ぎ＝そこまでの縛りは必要ない　ということなので


x＝１は、x²=1であるための必要条件ではないです。



ということで！


つまり、十分条件とは、それだけあれば十分な条件、ということです。
ただし、十分な条件ということは、十分に縛っているということなので、縛りすぎている可能性があります。




ではまた最初の例に戻って、別のことを考えてみましょう。



動物であることは、犬であるための…さて何？




犬であるためには、動物である、という縛りだけで果たして十分なのかどうか。



…不十分ですよね。動物であるからといって、それが犬とは限らない。ライオンかもしれないしハシビロコウかもしれない。


なので、動物である、という条件は、犬であるための十分条件ではないです。

「それだけあれば十分な条件（縛り）」になってない。



…では次。



動物であるという縛りは、犬であるためには必要な縛りなのかどうか。



…実はここで、日本語で普通に使う「必要」と、「必要条件」という時の「必要」の、ニュアンスの違いが出てくるんですよ。


「十分」のほうは日本語とあんま変わらない感じで使えるんですけどね。



つまり。


動物であるという縛りは、犬であるために必要な縛りなのかどうか、って聞かれたときに


「ほ乳類である、という縛りがあれば、動物であるという縛りは必要ない！！だから動物であるという条件は、犬であるための必要な縛りではない！！」



という話になってしまう。



「ほ乳類である、という条件があれば、動物であるという条件は必要ない。だから動物であるという条件は、犬であるために必要な条件ではない。」



なんとなくそれっぽいですが…



次を見てください。


「動物である」という縛りがない＝動物でなくてよい



これも、しっくりきますよね？


「動物である」という縛りがないってことは、その縛りから解放されたわけだから、動物でなくてよい。



ではもう一度

「ほ乳類である、という条件があれば、動物であるという条件は必要ない。だから動物であるという条件は、犬であるために必要な条件ではない。」



そうはいかないんですよ。

「動物である」という条件がないと、動物でなくてもいいということになります。


犬であるためには、動物でなくてもいい…？


そんなわけないです。


なので、犬であるためには、動物であることは必要な縛り（必要条件）なんです。



じゃあ「ほ乳類であること」は？


犬であるために、ほ乳類であることは必要かどうか考えてみましょう。

今「動物でなくてもいいかどうか」を考えたのと同じように、「ほ乳類でなくてもいいかどうか」を考えてみると、わかりやすいです。



ほ乳類でなくていいわけないですね。ということで、「ほ乳類であること」は「犬である」ための必要条件です。


ということは逆に「犬である」ことは「ほ乳類である」ための十分条件ですよね。そこは大丈夫ですか？



と、いうことはですよ。

数学的に厳密ではないですが、例として



Ａ君が「今からちょっとずつヒントだしてくから、俺が今考えてるもの当ててみ。」なんて言いながら出すヒント


「漫画のキャラクター」
「全体的に青い」
「２２世紀生まれ」
「２１１２年９月３日生まれ」
「猫型ロボット」
「小学生と同居してる」
「耳がない」
「…


といったヒントは、すべてこれ「必要条件」なんですよ！！


ヒントを出すごとに、ちょっとずつ縛って可能性を絞り込んでいってるイメージね。


例えば「２２世紀生まれ」は「ド○えもん」であるために必要な条件かどうか。

ド○えもんであるためには、２２世紀生まれでなくてもいいかどうかを考える。


…ド○えもんであるためには、２２世紀生まれじゃなきゃだめですよね。

つまり２２世紀生まれである「必要がある」ということです。


「いやでも生まれたばっかのドラえもんは全体的に黄色いし耳あるし小学生と同居してないし！！！」

…そうですね。すいません。「数学的に厳密ではない」って言ったのはそこです。逃げ道がある。

そういう逃げ道があるものは、本当は「必要条件」ではありません。



…ですが、言いたいことは伝わったはず…！！


逆に、ドラえもんであることは、２２世紀生まれであるための十分条件です。



さて。

では数学的な話に戻ってみましょう。



x²=1 は　x=1であるための…


さて、何？



x²=1は、x=1であるために十分な条件か。


それだけで十分な条件になってい…


…ないですよね。



x＝１という可能性があります。縛り足りないってことです。十分に縛るにはもうちょっと縛らないといけない。



では。必要かどうかを考えてみましょう。

x²=1であることは、x=1であるために必要な条件かどうか。


x＝１であるためには、x²=1でなくてもいいかどうか。


…だめですよ。x²は１じゃないと。


つまり、x²=1 は x=1 であるための必要条件ってことになります。


矢印使うと
x=1⇒x²=1　ってことね。


…どうですか。


必要条件、十分条件っていう言葉は、ちゃんと意味的にもわかる言葉なんですよ。


…ただ、ここまで必要条件十分条件それぞれについて見分ける方法を説明してきましたが


aがbの必要条件なら、bはaの十分条件なんですよね。

逆にbがaの十分条件なら、aはbの必要条件。

つまり、どっちかが十分条件（必要条件）ってわかれば、その逆は必要条件（十分条件）って一発でわかる、ってことです。

なので、考えててわかりにくくなった場合は、これ使うと簡単になることがあるので、積極的に逆向きを考えてみましょうってことです！




ではいくつか例をあげてこの記事を終えておきましょう。

例１

x²-3x+2=0　は　x=1またはx＝２ であるための



…さて、何？




x²-3x+2=0をとくと、x=1またはx＝２という答えになります。

ということは、x²-3x+2=0であることは、x＝１またはx＝２であるために、十分な縛りになってます。

x²-3x+2=0にまで縛れば、あとは勝手にx＝１or２になってくれるわけですから。十分な縛りなわけ。


では、x²-3x+2=0は、x=1or2であるために、必要な縛り？


別になくてもいいんじゃないの？


じゃあ

x=1or2であるためには、x²-3x+2=0でなくてもいい…？


これ、ダメです。x＝１のときもx＝２のときも、x²-3x+2は自動的に０に確定するので

x²-3x+2は０以外あり得ないです。

ということは、x²-3x+2=0は、x＝１またはx＝２であるために、必要な縛り、ということになります。


以上より。

x²-3x+2=0は、x=1またはx=2であるための、必要十分条件！！


方程式の解っていうのは、必要十分条件を求めてるんですよ。知ってましたか？

x²-3x+2=0⇔x=1または2



では次。

例２


ab＞0 であることは、a＞0 であるための


…


…さて、何？




ab>0って、それだけでa>0であるための十分な縛りになってる？


…なってませんよ。


aが負になってた場合でも、bが負ならab>0になっちゃいますからね。

縛り足りない、ってことです。十分条件ではない。


じゃあ、ab>0は、a>0であるために必要？


a>0であるためには、ab>0でなくてもいい…？



…ab>0でなくてもいい。うん。そう。そうじゃなくていい。


bが負の場合を考えてみると。

ab<0のときでも、a>0は達成できます。


つまりそんな縛りは必要ないってことです。必要条件ではない。


結論
ab>0であることはa>0であるための、必要条件でも十分条件でもない。





〜今回のまとめ〜

必要条件は、そうでないと困る、っていう縛り
十分条件は、それだけあれば十分、っていう縛り

必要条件だと縛り足りないことがあるし
十分条件は縛りすぎてることがある。

「aがbの必要条件」⇔「bがaの十分条件」

・数学目次へ　・化学目次へ　・物理目次へ　・文系科目目次へ




========================================
ご意見、ご感想、文句、ご指摘、相互リンクの申し込み等
遠慮なくコメントやメールでどうぞ！
メールアドレスは右のバーの上のほうにあります。
他の記事へはトップページかサイドバーの目次からどうぞ。
トップページはこちら。
このサイトについて
========================================

Comments

必要十分条件の記事、
拝見しましたが苦労されていましたね。
もっと数式を使った方がわかり良いと思います。

真田正大
そうですね、必要条件十分条件についてズバッとわかりやすい記事を書くのは難しいなと思いました。
今回は日常的な例をあげて感覚的に捉えてもらえてもらうことを目指したのですが、確かに冗長で逆にわかりにくくなってしまったかもしれません。ご意見ありがとうございます！

Posted by ムラカミ at 2009年11月04日 21:52