2009年10月29日

必要条件、十分条件


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今回は、必要条件十分条件について勉強して!


必要条件とか十分条件とか意味わかんないんだけど、という方も多いんじゃないかと思います


「いや、簡単だろ。矢印が左向いてりゃ必要、右向いてりゃ十分なんだよ。順番的にひっくり返ってる感じな。」って覚えてる方もいるんじゃないかと思います。





butしかし今回は。



なんで矢印が左向いてると「必要」になって、右向いてると「十分」なんだよ、と。



その辺のことをみていこうと思います。


ずばり言いますよ


必要条件とは、必要な条件のこと

十分条件とは、十分な条件のことである!!!!!




…えー、元も子もないですね。でも実は本当にこれだけなんです。


ちょっとわかりやすくするために、「条件」という言葉は「縛り(しばり)」ということで置き換えられる、ということを言っておきます。


もちろん、正しい数学用語ではないのでテストで書くと良くないですが、理解しやすくなるかと。


ではまず。


犬⇒動物

これは間違いないですよね。ロドリゲスが犬ならば、ロドリゲスは動物である。


矢印の向きで考えると、右向きなので

犬であることは、動物であるための十分条件」ということになります。
言い換えると、「ロドリゲスが犬である、という縛り(しばり)は、ロドリゲスが動物であるためには十分な縛り」ということ。


…。


「犬であることは、動物であるための十分な縛り」って、なんとなくしっくりきません?



犬である、というだけで、動物であるためには十分ですよね。犬なんだから、そりゃ動物でしょうよ、っていう話。



じゃあ、犬であることは、動物であるための必要条件かどうかを考えてみる。

犬であるという縛りは、動物であるために、必要な縛りなのかどうか。


…これ、必要ないんですよね。犬にまで縛らなくても、猫でも馬でもアルパカでもいいわけで。


ということは、犬であることは、動物であるための必要条件ではない、ということです。

なので、犬であることは、動物であるための必要十分条件でもない。

必要十分条件とは、必要条件でなおかつ十分条件であるような奴のことだからね。



これを、数学っぽい話にすりかえてみましょう。


x=1であることは、x2=1であるための…

…さて、何?



x=1という条件は、x2=1であるために、必要なのか、必要ないのか、十分なのか、不十分なのか。


どうでしょう。


見えてきました?


x=1という条件は、x2=1が成り立つために、十分な縛りです!

何故なら。x=1という条件(縛り)があれば、それだけでx2=1だからです!!



では、x=1という縛りは、x2=1であるために必要なしばりなのか?


…。


そこまでの縛りは必要ないですよね。

x=−1でもいいんだから、x=1に縛る必要はない。


つまり、x2=1 であるためには、x=1という縛りは、縛り過ぎなんですよ


縛り過ぎ=そこまでの縛りは必要ない ということなので


x=1は、x2=1であるための必要条件ではないです。



ということで!


つまり、十分条件とは、それだけあれば十分な条件、ということです。
ただし、十分な条件ということは、十分に縛っているということなので、縛りすぎている可能性があります。




ではまた最初の例に戻って、別のことを考えてみましょう。



動物であることは、犬であるための…さて何?




犬であるためには、動物である、という縛りだけで果たして十分なのかどうか。



不十分ですよね。動物であるからといって、それが犬とは限らない。ライオンかもしれないしハシビロコウかもしれない。


なので、動物である、という条件は、犬であるための十分条件ではないです。

それだけあれば十分な条件(縛り)」になってない。



…では次。



動物であるという縛りは、犬であるためには必要な縛りなのかどうか。



…実はここで、日本語で普通に使う「必要」と、「必要条件」という時の「必要」の、ニュアンスの違いが出てくるんですよ。


「十分」のほうは日本語とあんま変わらない感じで使えるんですけどね。



つまり。


動物であるという縛りは、犬であるために必要な縛りなのかどうか、って聞かれたときに


ほ乳類である、という縛りがあれば、動物であるという縛りは必要ない!!だから動物であるという条件は、犬であるための必要な縛りではない!!



という話になってしまう。



「ほ乳類である、という条件があれば、動物であるという条件は必要ない。だから動物であるという条件は、犬であるために必要な条件ではない。」



なんとなくそれっぽいですが…



次を見てください。


「動物である」という縛りがない=動物でなくてよい



これも、しっくりきますよね?


「動物である」という縛りがないってことは、その縛りから解放されたわけだから、動物でなくてよい。



ではもう一度

「ほ乳類である、という条件があれば、動物であるという条件は必要ない。だから動物であるという条件は、犬であるために必要な条件ではない。」



そうはいかないんですよ。

「動物である」という条件がないと、動物でなくてもいいということになります。


犬であるためには、動物でなくてもいい…?


そんなわけないです。


なので、犬であるためには、動物であることは必要な縛り(必要条件)なんです。



じゃあ「ほ乳類であること」は?


犬であるために、ほ乳類であることは必要かどうか考えてみましょう。

今「動物でなくてもいいかどうか」を考えたのと同じように、「ほ乳類でなくてもいいかどうか」を考えてみると、わかりやすいです。



ほ乳類でなくていいわけないですね。ということで、「ほ乳類であること」は「犬である」ための必要条件です。


ということは逆に「犬である」ことは「ほ乳類である」ための十分条件ですよね。そこは大丈夫ですか?



と、いうことはですよ。

数学的に厳密ではないですが、例として



A君が「今からちょっとずつヒントだしてくから、俺が今考えてるもの当ててみ。」なんて言いながら出すヒント


「漫画のキャラクター」
「全体的に青い」
「22世紀生まれ」
「2112年9月3日生まれ」
「猫型ロボット」
「小学生と同居してる」
「耳がない」
「…


といったヒントは、すべてこれ「必要条件」なんですよ!!


ヒントを出すごとに、ちょっとずつ縛って可能性を絞り込んでいってるイメージね。


例えば「22世紀生まれ」は「ド○えもん」であるために必要な条件かどうか。

ド○えもんであるためには、22世紀生まれでなくてもいいかどうかを考える。


…ド○えもんであるためには、22世紀生まれじゃなきゃだめですよね。

つまり22世紀生まれである「必要がある」ということです。


「いやでも生まれたばっかのドラえもんは全体的に黄色いし耳あるし小学生と同居してないし!!!」

…そうですね。すいません。「数学的に厳密ではない」って言ったのはそこです。逃げ道がある。

そういう逃げ道があるものは、本当は「必要条件」ではありません。



…ですが、言いたいことは伝わったはず…!!


逆に、ドラえもんであることは、22世紀生まれであるための十分条件です。



さて。

では数学的な話に戻ってみましょう。



x2=1 は x=1であるための…


さて、何?



x2=1は、x=1であるために十分な条件か。


それだけで十分な条件になってい…


…ないですよね。



x=1という可能性があります。縛り足りないってことです。十分に縛るにはもうちょっと縛らないといけない。



では。必要かどうかを考えてみましょう。

x2=1であることは、x=1であるために必要な条件かどうか。


x=1であるためには、x2=1でなくてもいいかどうか。


…だめですよ。x2は1じゃないと。


つまり、x2=1 は x=1 であるための必要条件ってことになります。


矢印使うと
x=1⇒x2=1 ってことね。


…どうですか。


必要条件十分条件っていう言葉は、ちゃんと意味的にもわかる言葉なんですよ。


…ただ、ここまで必要条件十分条件それぞれについて見分ける方法を説明してきましたが


aがbの必要条件なら、bはaの十分条件なんですよね。

逆にbがaの十分条件なら、aはbの必要条件。

つまり、どっちかが十分条件(必要条件)ってわかれば、その逆は必要条件(十分条件)って一発でわかる、ってことです。

なので、考えててわかりにくくなった場合は、これ使うと簡単になることがあるので、積極的に逆向きを考えてみましょうってことです!




ではいくつか例をあげてこの記事を終えておきましょう。

例1

x2-3x+2=0 は x=1またはx=2 であるための



…さて、何?




x2-3x+2=0をとくと、x=1またはx=2という答えになります。

ということは、x2-3x+2=0であることは、x=1またはx=2であるために、十分な縛りになってます。

x2-3x+2=0にまで縛れば、あとは勝手にx=1or2になってくれるわけですから。十分な縛りなわけ。


では、x2-3x+2=0は、x=1or2であるために、必要な縛り?


別になくてもいいんじゃないの?


じゃあ

x=1or2であるためには、x2-3x+2=0でなくてもいい…?


これ、ダメです。x=1のときもx=2のときも、x2-3x+2は自動的に0に確定するので

x2-3x+2は0以外あり得ないです。

ということは、x2-3x+2=0は、x=1またはx=2であるために、必要な縛り、ということになります。


以上より。

x2-3x+2=0は、x=1またはx=2であるための、必要十分条件!!


方程式の解っていうのは、必要十分条件を求めてるんですよ。知ってましたか?

x2-3x+2=0⇔x=1または2



では次。

例2


ab>0 であることは、a>0 であるための





…さて、何?




ab>0って、それだけでa>0であるための十分な縛りになってる?


…なってませんよ。


aが負になってた場合でも、bが負ならab>0になっちゃいますからね。

縛り足りない、ってことです。十分条件ではない。


じゃあ、ab>0は、a>0であるために必要?


a>0であるためには、ab>0でなくてもいい…?



…ab>0でなくてもいい。うん。そう。そうじゃなくていい。


bが負の場合を考えてみると。

ab<0のときでも、a>0は達成できます。


つまりそんな縛りは必要ないってことです。必要条件ではない。


結論
ab>0であることはa>0であるための、必要条件でも十分条件でもない。





〜今回のまとめ〜

必要条件は、そうでないと困る、っていう縛り
十分条件は、それだけあれば十分、っていう縛り

必要条件だと縛り足りないことがあるし
十分条件は縛りすぎてることがある。

「aがbの必要条件」⇔「bがaの十分条件」

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posted by 真田正大 at 18:35 | Comment(11) | TrackBack(0) | 命題、集合
この記事へのコメント
必要十分条件の記事、
拝見しましたが苦労されていましたね。
もっと数式を使った方がわかり良いと思います。

真田正大
そうですね、必要条件十分条件についてズバッとわかりやすい記事を書くのは難しいなと思いました。
今回は日常的な例をあげて感覚的に捉えてもらえてもらうことを目指したのですが、確かに冗長で逆にわかりにくくなってしまったかもしれません。ご意見ありがとうございます!
Posted by ムラカミ at 2009年11月04日 21:52
めちゃくちゃ分かりやすかったです!!!!

もうこの手の問題は間違えないと言い切れるほど理解できました!

これは学校では教わらない考え方なのであと一歩腑に落ちないって人にはベストな説明だと思います。

日記執筆時期から時間の経ったコメですいません。
感動してしまったものでA^^;)


真田正大
ありがとうございます!
盛大なお褒めの言葉をいただき私も大変うれしく思っております。
理解していただけて本当に良かったです。
コメントはいつでも受け付けております。執筆時から時間が経っても構わないので大丈夫です。
Posted by 大惨事! at 2010年01月17日 20:09
「感覚的理解をモットーに解説」なされているとのことですが、実は私のブログの記事もそうです。(あくまで私はですが)親近感を覚えました。

>必要条件十分条件についてズバッとわかりやすい記事を書くのは難しいなと思いました。

必要条件を必然条件と解したらどうですか?そうすれば、A⇒Bの命題が真である時、どちらが必要条件か迷うことも少なくなると思います。


真田正大
ブログ拝見致しました。
「必然条件」、素晴らしいですね!
「必要条件」という語と「必要」という語ではイメージのズレがありますが
「必要条件」を「必然(的な)条件」と捉えるとイメージのズレがなくなりますね。
図々しいお願いかとは存じますが、記事内で紹介させていただいてもよろしいでしょうか。
Posted by 本質 at 2010年03月17日 00:57
>記事内で紹介させていただいてもよろしいでしょうか。
ええ、いいですよ。

大学生活との両立大変かと思いますが、頑張って下さい。
Posted by 本質 at 2010年03月23日 23:35
わかりやすかったです( ´ ▽ ` )ノ
ありがとうございました!


真田正大
こちらこそ、お越しいただきありがとうございます!またいらしてください。
Posted by 侑汰朗 at 2010年09月15日 13:28
難しいです…


真田正大
そうですか・・・申し訳ありません。
わかりやすい説明をまた考えてみます。
Posted by ここあ at 2011年03月15日 19:31
「ほ乳類である、という縛りがあれば、動物であるという縛りは必要ない!!だから動物であるという条件は、犬であるための必要な縛りではない!!」

という話になってしまう。

という箇所は、より理解するためにはよいポイントだと思いますが、若干の理解し辛さを感じました。
哺乳類であるならば、動物であるも真であるので、
動物であることを否定すれば、哺乳類ではなくなってしまい、
矛盾を引き起こすため、排除できる要素の一つではないことを示すのはどうでしょうか。

または、必要条件の1つ(動物)を、
そのより狭められた概念(哺乳類)を挙げることによって、
排除することはできないことを詳しく例示することによって、分かり易くなると思いました。

例えば、動くことは犬であるための必要条件の一つ。
しかし、動物という縛りがあれば、動くという縛りは必要ない!
という主張は、動くというのは動物の特徴の1つなので、
排除することはできない。など


必要条件:構成要素の1つ
必要十分条件:すべての構成要素
十分条件:すべての構成要素+アルファ
Posted by くまっと at 2012年12月01日 19:20
黄色とか読みにくいからwwww
Posted by あはっ at 2013年05月19日 13:25

分かりにくいです
動物の例を出すのはいいですが
わざわざマイナーな動物出さなくてもいいと思います
ただでさえ必用条件と十分条件でこんがらがっているのに余計わからなくなります
そして、黄色い文字見えないです
Posted by 新高一 at 2013年05月25日 19:15
スイス 時計
Posted by カルティエ cartier at 2013年08月12日 09:51

『元も子もない』の意味を取り違えてますね。
そこは『身も蓋もない』を使うべきです。

説明自体は中々良かったように思います。
Posted by k at 2013年09月04日 18:10
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