2009年10月21日

因数分解


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今回は因数分解を勉強しましょう!

そもそも因数分解ってなんなのか。

中学校で勉強しました。

因数分解とは、かけ算の形に直すことです。


例えば、24を3×8の形に直すのも因数分解だし

x2+x を x(x+1) の形に直すのも因数分解
ちゃんとxと(x+1)のかけ算の形になってるb


ところで。3×8はまださらに因数分解できますよね。

最終的には3×23 までいく


こうやって、最終的に素数の積の形まで直すことを素因数分解っていいます。ね。

で。


今回この記事で扱うのは、素因数分解と比べてかなり面倒くさいといわれる、式の因数分解のほうです。



共通因数をくくりだす、ってのはまだいいよ

a2+2ab+b2=(a+b)2だの
a2-b2=(a+b)(a-b)だのあるし
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)とか
acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)とかなってくるともうめんどくさくてしょうがないし
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)だとか
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)だとかもう覚えらんないよ!!


っていう感じになってる人もいるんじゃないかと思います。

っつーか、そもそもなんで因数分解なんてしなきゃいけないのか。

しかも、かけ算を計算して展開するときは機械的にやればいいのに、因数分解の時は共通因数くくるだの最低字数の文字について整理するだのたすき掛けをやるだのうまい組み合わせ方を探すだの
なんか、あてずっぽうじゃない

なんで展開は機械的にやればいいのに、因数分解は試しにやってみろ作戦しかないのよ。




なんで因数分解をしなきゃいけないのか。これは、方程式を解くのに使うんですね。

方程式の項を全部左辺に持ってきて、「=0」の形にする。で、左辺を因数分解すると、どれかの因数が0になるはずで・・・ っつって解く。

x2=-x+2 を解こうと思ったら
x2+x-2 = 0 の形にして
(x-1)(x+2)=0 って因数分解すると、x=1,-2が解だとわかる。



じゃあ、展開は単純作業なのに、因数分解はいろいろ試してみなくちゃいけないのはどうなのよ。因数分解もなんかストレートな方法があるんじゃないの??


実はこれが、因数分解のポイントなんですよ!



ここでもう一度、数字の因数分解を考えてみます。



5723を因数分解してみてください。暗算でちょろっとやってみて




難しい?じゃあ電卓使ってもいいですよ。手元に携帯があればそれについてるはず。



・・・


…難しいでしょ




2で割れるかどうか、3で割れるかどうか、5なら、7なら… っつって、割り切れるかどうか試してみるしかない。




じゃあ今度は59×97を計算してみて。暗算でちょろっと… いや、2桁のかけ算は正直私も暗算自身ないので筆算か、手元の携帯に付属の電卓を使っちゃいますが…



答えは5723です。


じゃあ、5723を因数分解してみてください。



・・・



楽勝です。59×97です


つまり何が言いたいかっていうと、文字の時だけじゃなく、数字の時も、かけ算の計算は簡単だが因数分解は難しい!ってことなんですよ


かけ算の計算は簡単だけど、その計算結果だけ見せられた場合、因数分解して元に戻すのは難しい。


このことを利用して、情報通信の暗号に素因数分解が使われてたりします。すごいね。


かけ算を計算するのは一直線にやれるけど、因数分解はあれこれ試しながら行っては戻り行っては戻りってやってかなきゃいけない


このことが、そのまま文字の式でも言えるんですね。





つまり結論。


あれこれ試行錯誤したりせずにストレートに因数分解をこなす方法は・・・



ない!!!!




ということでいつも通りに次数の低い文字でまとめたり組み合わせ考えたりたすき掛けやってみたりいろいろがんばってみてくれ!!!!!





以上!!





…ひどい終わり方ですね。


一応ね、限られた場合についてですが、あるっちゃあるんですよ、機械的に因数分解する方法、ってのが。限られた場合だけだけど。

なんかしらの式を、共通因数くくりだしたり、次数の低い文字について降べきの順に整理したりして

最終的に 

Ax2 + Bx + C

っていう形になったとします。A、B、C、xは、どれも(a+2b)みたいな文字の式になっててもおk。


で、ここまで持ってくればもう勝ったも同然で、たすき掛けも何もやらずに、これの因数分解は

Ax2 + Bx + C =

insubunkaikainokoushiki.gif

ってわかります。これが、答え。


展開・計算をすれば、これが正しいことはわかる。


√ の中が負になったときは、「ああ、これ以上因数分解できない奴だったんだな。」って思っとけばおk。複素数の範囲で考えてる時は√ の中が負でもおk。


なんで解の公式が?って思った人のために、それっぽい解説をつけて、この記事を終わりたいと思います。


@Ax2 + Bx + C = 0 っていう方程式を、試しに考えてみるんですよ。

これの因数分解がA(x-α)(x-β)って仮定すると、方程式@は

A(x-α)(x-β)=0 って変形できるので、方程式@の解は

x=α,β

ところで、方程式@の解は、解の公式より  

x = {-B±√(B2-4AC)} / 2A  なので

これがα、βに等しい。


よって、Ax2 + Bx + C の因数分解は

insubunkaikainokoushiki.gif


ね。2次式の因数分解なら、この式にぶち込めば必ず答えがでます。ただし実数の世界で考えてる時は、√ の中が負になったら「これ以上因数分解できなかったのか」って考えてください。



…ただこれ、慣れてくると、たすき掛けのほうが速かったりする場合もあるので、どの程度使い物になるかはみなさん試してみて判断してみてください。。。



〜今回のまとめ〜

かけ算の計算(展開)は規則的にできるのに対して
その逆操作である因数分解は、規則的にはできない。

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posted by 真田正大 at 23:14 | Comment(4) | TrackBack(0) | 方程式、不等式
この記事へのコメント
こんばんは!

ブログ拝見しました。
何気なくブログを始めてはみたものの、なんかマンネリでして。
それでまたお邪魔してしまいまして・・・

刺激をもらいました!



物凄く参考になりました!

いろいろと勉強中なので、また来ます!
ありがとうございました!

SPYSi


真田正大
こんばんは!見ていただいてありがとうございます。
当ブログが刺激になったということで、少しでも協力できてうれしく思います。
何度でもご訪問ください!お待ちしております。
Posted by SPYSi at 2009年10月22日 00:00
初めましてすごく参考にさせて頂いています
一つ指摘?です
もし間違っていたらごめんなさい(苦笑)

acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+c)(cx+d)
↑の式ですが
acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
が正解ではないでしょうか?

回答お願いしますm(_ _)m


真田真大
初めまして、参考にしていただいてありがとうございます。
式の件ですが、本当ですね!そのとおりです、記事が間違ってました!
・・・ということで、訂正しておきました。
ご指摘ありがとうございました!!
Posted by 山邑 at 2009年12月07日 21:55
どうも始めまして。
いつも勉強の参考にさせていただいています☆
1つ質問なのですが、
59×97のところに
「私も暗算自身がないので・・・」とあるのですが、
これは「私も暗算に自信がない」という事なのですか?
それとも「暗算の能力が無い」という事なのですか?
気になったのでコメントさせていただきました。
Posted by ラッキー at 2012年02月08日 18:22
おもしろく拝見させていただきました。

明らかですが、誤植を見つけましたので記しておきます。

Ax^2+Bx+C=A(x-(-B+√(B^2-4AC))/(2A))(x-(-B-√(B^2-4AC))/(2A))

ですね。
Posted by あほうどり at 2015年02月25日 23:03
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