2009年09月19日

対数の計算


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前提記事:指数の拡張(整数)指数の拡張(実数)対数は指数の逆関数

今回は対数の計算についての勉強です。

logax + logay = logaxy
ylogax = logaxy


具体的には、これらの公式の「意味」を説明します。意味がわかれば、覚えやすいはず!!


まずですね、「対数」ってのがそもそもなんだったか。


それは、ある底aを何乗したら真数Mになるか、っていう数でした。

つまり、底alogaM 乗するとMになる

それをひとつの式であらわすとこう。

anologjouham.gif

ね。対数底aの右上にのってますね。底の右上に乗ってるものって何でしたっけ?

底の右上にのってるものは、axでいうところのxなので、「指数」です。

この「対数は指数」っていうイメージを覚えといてください。

それともう一つ、左辺と右辺は=でつながっているので、同じものを表します。右辺Mは、対数部分の「真数」ですね。

なので、左辺のalogaMも、同じく「真数」をあらわす、と解釈して

底のなんとか乗は真数」というイメージも覚えておいてください。


さて。

実は対数ってのは、右上にのってる数字を下におろしたものなんですよ!!


axとかなってるときの、指数部分xだけをとりだして計算するためのもの、とも言えます



では、そのことを示すために、指数の計算法則と比較してみます。

@ ax×ay=ax+y

A loga(b×c) = logab+logc

どうですか。なんとなく似てる気がしませんか?

上で、「対数は指数」「底のなんとか乗は真数」っていいました。

@は底aのなんとか乗、っていう形をしていて、Aは対数の形をしてます。

なので、@の全体は真数の世界Aの全体は対数(指数)の世界にある、っていう感じでいくと

どちらも真数の世界のかけ算は、対数(指数)の世界の足し算っていう関係を表しています。

…実はAの公式は、@の指数法則とまったく同じ意味なんですよ。


ちゃんと求めようと思ったら、
Aでb=ax c=ay とおいて両辺ともaの右上にのせれば@になるし
逆に@で、x=logab y=logac  とおいて対数をとるとAになります。


なので、この対数公式をど忘れしたときは

指数法則 ax×ay=ax+y

から「真数のかけ算は指数(対数)の足し算」であることを思い出せばいいんです。

よくあるミスとして

loga(b+c)=logab×logac

と、ふと勘違いしてしまうことがあります。

が、これでは、「真数の足し算は対数(指数)のかけ算」になってます。

ax×ay=ax+y を思い出せば、それがおかしい、と気づけるはず!




さて。ここまでくれば、もう一つの式

Blogabc=c logab の意味もわかります。

これが表しているものは

真数のなんとか乗 は 対数のなんとか倍」です。「なんとか」はcを表してます。

これと、指数法則

C(ax)y = axy

を比べてみてください。

axを「真数」として捉えて、「対数は指数」ということもおもいだすと 

このC式も「真数のなんとか乗 は 指数のなんとか倍」という意味だとわかります。「なんとか」はyを表してますね。


なので、このB式とC式も実は、まったく同じことを表しているんですよ!!

ちゃんと求めようと思ったら
Cで、x=logab y=c として対数をとるとBになるし
Bで b=ax c=y としてaの右上にのっけるとCになります。



対数と指数が同じ世界に属することを考えたら

logaxy の指数yが ylogax というふうに対数の世界に出てくることもなんとなく納得が…いかない?w





〜今回のまとめ〜
logax + logay = logaxy
ylogax = logaxy

対数(指数)の足し算 は 真数(底のなんとか乗)のかけ算
対数(指数)のかけ算 は 真数(底のなんとか乗)のなんとか乗

これらは指数法則とまったく同じことを意味している

前提記事:指数の拡張(整数)指数の拡張(実数)対数は指数の逆関数

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posted by 真田正大 at 00:54 | Comment(2) | TrackBack(0) | 指数関数、対数関数
この記事へのコメント
はじめまして
今年から日大に入る高3です
入学前課題に苦労していたので、いろいろと拝見させていただきました

対数の概念がすっかり抜け落ちていたので大変助かりました
ありがとうございます


真田正大
はじめまして。当サイトをご覧いただきありがとうございます!
助けになったのであれば大変光栄でございます。是非またお越しくださいませ。
Posted by aukun at 2010年01月10日 13:24
はじめまして、少し先のことに興味をもってこの記事を拝見させてもらいました、高1のMikuRe:です。
高1の私なんかでもすぐ理解できて、とても分かりやすい説明だと思いました。


さて、この記事を見てひとつ疑問がわいたのですが、
この記事の真ん中あたりにある説明の、


"では、そのことを示すために、指数の計算法則と比較してみます。

@ a^x×a^y=a^(x+y)

A log a (b×c) = log a (b) + log c

どうですか。なんとなく似てる気がしませんか?

上で、「対数は指数」「底のなんとか乗は真数」っていいました。

@は底aのなんとか乗、っていう形をしていて、Aは対数の形をしてます。"


の部分の、Aの式についてなのですが、


"log a (b×c) = log a (b) + log a (c)"


ではないのか、と思ったのですが、それは違うのでしょうか。?
Posted by MikuRe: at 2013年07月29日 23:22
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