今回は対数の計算についての勉強です。
logax + logay = logaxy
ylogax = logaxy
具体的には、これらの公式の「意味」を説明します。意味がわかれば、覚えやすいはず！！
まずですね、「対数」ってのがそもそもなんだったか。
それは、ある底aを何乗したら真数Mになるか、っていう数でした。
つまり、底aを logaM 乗するとMになる。
それをひとつの式であらわすとこう。
ね。対数が底aの右上にのってますね。底の右上に乗ってるものって何でしたっけ？
…底の右上にのってるものは、axでいうところのxなので、「指数」です。
この「対数は指数」っていうイメージを覚えといてください。
それともう一つ、左辺と右辺は＝でつながっているので、同じものを表します。右辺Mは、対数部分の「真数」ですね。
なので、左辺のalogaMも、同じく「真数」をあらわす、と解釈して
「底のなんとか乗は真数」というイメージも覚えておいてください。
さて。
実は対数ってのは、右上にのってる数字を下におろしたものなんですよ！！
axとかなってるときの、指数部分xだけをとりだして計算するためのもの、とも言えます
では、そのことを示すために、指数の計算法則と比較してみます。
① ax×ay=ax＋y
② loga(b×c) = logab＋logc
どうですか。なんとなく似てる気がしませんか？
上で、「対数は指数」「底のなんとか乗は真数」っていいました。
①は底aのなんとか乗、っていう形をしていて、②は対数の形をしてます。
なので、①の全体は真数の世界、②の全体は対数（指数）の世界にある、っていう感じでいくと
どちらも「真数の世界のかけ算は、対数（指数）の世界の足し算」っていう関係を表しています。
…実は②の公式は、①の指数法則とまったく同じ意味なんですよ。
ちゃんと求めようと思ったら、
②でb＝ax c=ay とおいて両辺ともaの右上にのせれば①になるし
逆に①で、x=logab y=logac とおいて対数をとると②になります。
なので、この対数公式をど忘れしたときは
指数法則 ax×ay＝ax+y
から「真数のかけ算は指数（対数）の足し算」であることを思い出せばいいんです。
よくあるミスとして
loga(b+c)=logab×logac
と、ふと勘違いしてしまうことがあります。
が、これでは、「真数の足し算は対数（指数）のかけ算」になってます。
ax×ay=ax+y を思い出せば、それがおかしい、と気づけるはず！
さて。ここまでくれば、もう一つの式
③logabc=c logab の意味もわかります。
これが表しているものは
「真数のなんとか乗 は 対数のなんとか倍」です。「なんとか」はcを表してます。
これと、指数法則
④(ax)y = axy
を比べてみてください。
axを「真数」として捉えて、「対数は指数」ということもおもいだすと
この④式も「真数のなんとか乗 は 指数のなんとか倍」という意味だとわかります。「なんとか」はyを表してますね。
なので、この③式と④式も実は、まったく同じことを表しているんですよ！！
ちゃんと求めようと思ったら
④で、x=logab y=c として対数をとると③になるし
③で b=ax c=y としてaの右上にのっけると④になります。
対数と指数が同じ世界に属することを考えたら
logaxy の指数yが ylogax というふうに対数の世界に出てくることもなんとなく納得が…いかない？w
～今回のまとめ～
logax + logay = logaxy
ylogax = logaxy
対数（指数）の足し算 は 真数（底のなんとか乗）のかけ算
対数（指数）のかけ算 は 真数（底のなんとか乗）のなんとか乗
これらは指数法則とまったく同じことを意味している
前提記事：指数の拡張（整数）、指数の拡張（実数）、対数は指数の逆関数
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