2009年08月14日

指数の拡張〜指数が実数の場合〜、指数のグラフ


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前提記事:指数の拡張と指数計算の公式

さて、今回は「指数が整数でないとき」を勉強しましょう。

そうですね。

例えば、y=2xのグラフを書こうとしてみる。

2-2 2-1 20 21 22

この辺の値はわかる。つまり、xが整数のときの値はわかる。

順に1/4、2/4、1、2、4なので、

(-2,1/4) (-1,1/2) (0,1) (1,2) (2,4)

これらの点をとっていけばいい。

点をプロットしてみれば、こうなる。

shisuuprot.gif

しかし。

その点の間を、どうつなげばいいのかが、よくわからない!

・・・いやまあ、確かに、なめらかな曲線でうまいことつなげばいいんだろう、っていう感じはするけれども。

例えばですよ、

21/2はどういう値なんだっちゅう話ですよ!


1に2を1/2回かける

ってどういうことやねん!


とりあえず、1/2が0と1の間なので、
上のプロット図から考えても、

21/2は20と21の間

つまり1と2の間にくるっぽいことは想像がつくけれども・・・・





・・・さて。ここでちょっとネタばらしをしてしまいますが。

y=2x のグラフを書くために、とりあえず作ってみた上のプロット図

なめらかな曲線で結べばよさそうな気がします、と言いました。



うん。実は、それでオッケーなんですね。ネタばらしということのほどでもないですがw



で、なめらかな曲線で結んで、それを使って21/2がどのくらいの値になるのか予想してみます。

shisuulinedalpha.gif



どうでしょう。


緑の直線は補助的につけてみたものです。(0,1)と(1,2)を直線で結んで、中点をとってみました。

y=2xのグラフは曲がっているので、緑の直線よりも下側にきますね。


なので、21/2は、大体、1.4くらいになりそう・・・? そんな気がしますね。



さて。ここで。あることを思い出す必要があります。


それは、指数の計算法則です。


am×an=am+n
(am)n=amn
(ab)n=anbn



mとかnとかが整数の時、確かにそうなるっぽいことはなんとなくわかる。


それを、mとかnとかが整数でない時も、成り立つようにしてしまおうじゃないか!


am×an=am+n


これを使って、21/2×21/2を、ためしに計算してみよう。


いや、21/2が何なのかわからないってさっきから言ってるのに、そんな計算できるわけないじゃないか!

と、言いたくなりますが、この公式を使えば、計算できてしまいます。

やってみますと

 21/2×21/2
=21/2+1/2
=2
=2


・・・ね。



さぁ、21/2の正体になんとなく近づけました。



つまり、21/2を2つ掛け合わせると、2になる


2つ掛け合わせると2になる、ってことは、それってつまり・・・


√2 ってこと!



さっき上の図から予想した値は「大体1.4」ということでしたが


√2=1.41421356・・・・ なので、図のほうも間違いなさそうです。




じゃあ、31/2は?

 31/2×31/2
=31/2+1/2
=31
=3

なので、31/2は、二つ掛け合わせると3になる数、

つまり√3 です。


これで何が言えるかというと

a1/2=√a

ということがわかります!




じゃあ、23/2は?

これは、指数部分を、整数部分と、1より小さい部分に分解してみるとわかります。

 23/2
=22/2+1/2
=21+1/2
=21×21/2
=2×√2
=2√2



ところで。

a1/2=√aということは、aは√の中に入っているので

負の数ではありえませんよね?



a1/2を考えるとき、実は、底aは負の数ではダメなんです!



指数が整数の時は、(-2)2=4 とか (-3)3=-27 とか

考えることができましたが


指数が整数でない場合、底は正の数じゃないとダメです!

理由は上で述べたように、√の中に負の数が入ってきてしまう可能性が出てくるからです。




では、21/3は?

これも同じように考えられます。

21/3を3回掛け合わせるんです。

 21/3×21/3×21/3
=21/3+1/3+1/3
=21
=2

ね。3回かけると2になる、ということで

21/33√3 (三乗根3) です。




じゃあ、32/3はなんなのさ?

これは、指数の公式

(am)n=amn

を使います。

 32/3
=31/3×2
=(31/3)2
=(3√3)2

これはこれ以上簡単にすることはできません。

つまり、32/3は、3の三乗根の2乗、です。


実は、先にあげた23/2も、答えは2√2ということでしたが、これは2の二乗根の3乗になってます。


つまり、指数の公式から何が言えるか、というと


ab/c は

aのc乗根のb乗
 です!


式で書くと

ab/c = (c√a)b です。



ちなみに

ab/c = c√(ab)

ともかけます。

この場合は、aのb乗のc乗根、となります。


どちらも、同じ値を表しているので、大丈夫です。




さぁ!これで、指数が分数(有理数)の場合もいけるようになりました!


ただし、指数が整数じゃなくなった段階で、底>0という制約がついたことも忘れ去らないでくださいね。


さて。最後。



2xのグラフを書くとき、xは分数で表せるとは限りません。


2√2は、どうすればいいのか!



うーん。どうしよう。このままではまったく意味不明な値だ・・・


でもこれ、実はもう、なんとかなるんですよ。

√2=1.4142156・・・・ です。


で、21.41421356・・・の値を求めればいいわけですが


とりあえず、1.414くらいで計算すると


1.414=1414/1000

です。


なので、21.414は、2の千乗根の1414乗 です。


ほら!なんとか、まったく意味不明、っていう値ではなくなった



計算はバカ難しいですが・・・・ まあ、求められなくは、ない・・・はず・・・コンピュータとか使えば・・・・多分・・・



で、これをさらに細かくしていって、1.41421356・・・についてやれば、どんどん正確に

2√2

の値が求められるということですよ!



はい!以上!これで、正の数aと自由なxについて、axが求められるようになりました!!



2xのグラフだって書ける、というわけですよ!




・・・まぁ、実際にこのグラフ書くとしたら、


(-2,1/4)(-2,1/2)(0,1)(1,2)(2,4)の点とって、それをなめらかな曲線で結ぶ、っていう方法でやりますけどねw


〜今回のまとめ〜

ab/c=(c√a)b
つまり、
aのc乗根のb乗

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posted by 真田正大 at 18:46 | Comment(0) | TrackBack(0) | 全般
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