指数の拡張〜指数が実数の場合〜、指数のグラフ

前提記事：指数の拡張と指数計算の公式

さて、今回は「指数が整数でないとき」を勉強しましょう。

そうですね。

例えば、y=2^xのグラフを書こうとしてみる。

2^-2 2^-1 2⁰ 2¹ 2²

この辺の値はわかる。つまり、ｘが整数のときの値はわかる。

順に1/4、2/4、１、２、４なので、

(-2,1/4) (-1,1/2) (0,1) (1,2) (2,4)

これらの点をとっていけばいい。

点をプロットしてみれば、こうなる。



しかし。

その点の間を、どうつなげばいいのかが、よくわからない！

・・・いやまあ、確かに、なめらかな曲線でうまいことつなげばいいんだろう、っていう感じはするけれども。

例えばですよ、

2^1/2はどういう値なんだっちゅう話ですよ！


１に２を1/2回かける

ってどういうことやねん！

とりあえず、1/2が０と１の間なので、
上のプロット図から考えても、

2^1/2は2⁰と2¹の間、

つまり１と２の間にくるっぽいことは想像がつくけれども・・・・





・・・さて。ここでちょっとネタばらしをしてしまいますが。

ｙ＝２^x　のグラフを書くために、とりあえず作ってみた上のプロット図

なめらかな曲線で結べばよさそうな気がします、と言いました。



うん。実は、それでオッケーなんですね。ネタばらしということのほどでもないですがｗ



で、なめらかな曲線で結んで、それを使って２^1/2がどのくらいの値になるのか予想してみます。





どうでしょう。


緑の直線は補助的につけてみたものです。(0,1)と(1,2)を直線で結んで、中点をとってみました。

ｙ＝2^xのグラフは曲がっているので、緑の直線よりも下側にきますね。


なので、2^1/2は、大体、1.4くらいになりそう・・・？　そんな気がしますね。



さて。ここで。あることを思い出す必要があります。


それは、指数の計算法則です。


a^m×aⁿ=a^m+n
(a^m)ⁿ=a^mn
(ab)ⁿ=aⁿbⁿ


ｍとかｎとかが整数の時、確かにそうなるっぽいことはなんとなくわかる。


それを、ｍとかｎとかが整数でない時も、成り立つようにしてしまおうじゃないか！


a^m×aⁿ=a^m+n


これを使って、2^1/2×2^1/2を、ためしに計算してみよう。


いや、2^1/2が何なのかわからないってさっきから言ってるのに、そんな計算できるわけないじゃないか！

と、言いたくなりますが、この公式を使えば、計算できてしまいます。

やってみますと

　2^1/2×2^1/2
＝2^1/2+1/2
＝2^１
＝２


・・・ね。



さぁ、2^1/2の正体になんとなく近づけました。



つまり、2^1/2を２つ掛け合わせると、２になる


２つ掛け合わせると２になる、ってことは、それってつまり・・・


√２　ってこと！



さっき上の図から予想した値は「大体１．４」ということでしたが


√２＝１．４１４２１３５６・・・・　なので、図のほうも間違いなさそうです。




じゃあ、３^1/2は？

　3^1/2×3^1/2
＝3^1/2+1/2
＝3¹
＝３

なので、3^1/2は、二つ掛け合わせると３になる数、

つまり√３　です。


これで何が言えるかというと

a^1/2＝√a

ということがわかります！




じゃあ、2^3/2は？

これは、指数部分を、整数部分と、１より小さい部分に分解してみるとわかります。

　2^3/2
＝2^2/2+1/2
＝2^1+1/2
＝2¹×2^1/2
＝2×√2
＝２√２



ところで。

a^1/2=√aということは、aは√の中に入っているので

負の数ではありえませんよね？



a^1/2を考えるとき、実は、底aは負の数ではダメなんです！



指数が整数の時は、(-2)²=4　とか　(-3)³=-27　とか

考えることができましたが


指数が整数でない場合、底は正の数じゃないとダメです！

理由は上で述べたように、√の中に負の数が入ってきてしまう可能性が出てくるからです。




では、2^1/3は？

これも同じように考えられます。

2^1/3を３回掛け合わせるんです。

　2^1/3×2^1/3×2^1/3
＝2^1/3+1/3+1/3
＝2¹
＝２

ね。３回かけると２になる、ということで

2^1/3＝³√３　（三乗根３）　です。




じゃあ、3^2/3はなんなのさ？

これは、指数の公式

(a^m)ⁿ=a^mn

を使います。

　3^2/3
＝3^1/3×２
＝(3^1/3)²
＝(³√3)²

これはこれ以上簡単にすることはできません。

つまり、3^2/3は、３の三乗根の２乗、です。


実は、先にあげた2^3/2も、答えは2√2ということでしたが、これは２の二乗根の３乗になってます。


つまり、指数の公式から何が言えるか、というと


a^b/c　は

aのｃ乗根のｂ乗　です！


式で書くと

a^b/c = (^c√a)^b　です。



ちなみに

a^b/c = ^c√(a^b)

ともかけます。

この場合は、aのb乗のc乗根、となります。


どちらも、同じ値を表しているので、大丈夫です。




さぁ！これで、指数が分数（有理数）の場合もいけるようになりました！


ただし、指数が整数じゃなくなった段階で、底＞０という制約がついたことも忘れ去らないでくださいね。


さて。最後。



2^xのグラフを書くとき、ｘは分数で表せるとは限りません。


2^√2は、どうすればいいのか！



うーん。どうしよう。このままではまったく意味不明な値だ・・・


でもこれ、実はもう、なんとかなるんですよ。

√２＝１．４１４２１５６・・・・　です。


で、２^{1.41421356・・・}の値を求めればいいわけですが


とりあえず、1.414くらいで計算すると


1.414=1414/1000

です。


なので、2^1.414は、２の千乗根の１４１４乗　です。


ほら！なんとか、まったく意味不明、っていう値ではなくなった！



計算はバカ難しいですが・・・・　まあ、求められなくは、ない・・・はず・・・コンピュータとか使えば・・・・多分・・・



で、これをさらに細かくしていって、1.41421356・・・についてやれば、どんどん正確に

2^√2

の値が求められるということですよ！



はい！以上！これで、正の数aと自由なｘについて、a^xが求められるようになりました！！



2^xのグラフだって書ける、というわけですよ！




・・・まぁ、実際にこのグラフ書くとしたら、


(-2,1/4)(-2,1/2)(0,1)(1,2)(2,4)の点とって、それをなめらかな曲線で結ぶ、っていう方法でやりますけどねｗ


〜今回のまとめ〜

a^b/c=(^c√a)^b
つまり、
aのc乗根のb乗

前提記事：指数の拡張と指数計算の公式

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