2009年06月23日

有効数字とは


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有効数字についての勉強です!


普通に1024とか書けばいいものを、何故か突然

1.0×103

などと書くわけですね。

しかも、1024のうち「24」はどこいったんじゃ!っつう話ですよ。

それだけでは終わらない。

今まで2cmだったものが、2.0cmになりました。

「.0」って何?wいらないじゃんww



っていう話なんですよ。

2と2.0の何が違うのかと。


まだありますね。

0.01と書けばいいものを

0.010と書いたり。

これも最後の「0」がいらないじゃないかと。言いたくなるわけですよ。

しかも、これも

1.0×10-2

なんて書いたりします。



…さて。


わざわざこんな書き方をするくらいなんだから、もちろん意味があるんですね、実は。



まず一つ目としては、バカでかい数字や、バカ細かい数字を表すために便利です。


例えば、12gの炭素の中に、炭素原子がだいたいいくつあるか、知ってますか?

大体、600000000000000000000000個です。


…読めすらしませんねw

ちなみに、読むと「6千垓(ろくせんがい)」個です。「6兆の1千億倍です。」
まあそれはいいとして。



こんなに0の多い数字ではいちいち書くのも面倒です。


そこで、0の数に注目して、

6.0×1023


と、書くことにしたわけです。

逆に、

0.0000000000000000020m

なんていう距離があったとしたら、やっぱり0が多くて書くのがめんどいので、これを

2.0×10-18m


と書くことにしたわけです。

…ちなみにこれ、普通に読むと「れいてんれいれいれいれいれい…」となりますが

「2刹那(せつな)」と読むこともできます。刹那って、ちょっとかっこいい。


さて。


まだ疑問が解決してませんね。

「×10」ででかい数字やちっちゃい数字を表しやすいことはわかった。



「.0」はいったい何のためについてるのかと!


刹那のとこにでてきた数字、さりげなく少数の最後に0がついてるじゃねぇか!と!





答えから言っちゃいますと


有効数字ってのは、「どの程度までその数字が信用できるのか」を表した書き方なんです。



例をあげます。


上に出てきた「大体6千垓」

大体600000000000000000000000

「大体」って、どのくらいの「大体」なのか、っていう話なんですよ。


つまりね

599999999999999999999995と
600000000000000000000004の間くらいの、割ときっちりした「大体6千垓」なのか

550000000000000000000000と
649999999999999999999999の間ぐらいの、割と大雑把な「大体6千垓」なのか


「大体6千垓」っていう言い方からではわからない
んですよ!




もう1個例をあげましょう。



日本の人口は1億人です。って聞いて、


「へぇーすげぇ!丁度1億人とか!マジすげぇ」


って言う人はあんまりいませんね



ていうか、今この瞬間にも日本のどっかで誰かが生まれて日本のどっかで誰かが死んでるわけで。


人口、変わってるわけで。




ということはですよ、「人口1億人」っていうのは、「約1億人」「大体1億人」ってことなんですよ。アバウトに。



んさてしかし。大体1億人なのはわかったけど



それは


9万9千9百万人〜1億と百万人 くらいの「大体」なのか

5千万人〜1億5千万人 くらいの「大体」なのか

っていう話になってくるわけですよ。


いや、まあ、確かに、どんくらいの大体さなのか、なんて興味ないかもしれないけど


ほら、なんかのアンケート調査してみたりとかさ、携帯電話の普及率調べようとか思ったら、日本の人口を何億何千何百万人くらいの精度で知りたくなってくることもあるでしょうよ。


そしたら、「大体1億」が「実は1億3千万」だった、では困るわけですよ。

だから、「大体1億だけど、1億3千万ってことはないよ。9千9百万〜1億百万人くらいだよ。」っていうことがちゃんとわかるように、示してくれないと、困るわけなのね。



それを示すためにどうすればいいかっていうと

例えば

「大体1億0千0百万人くらい」っていう言い方をすると、1億3千万人なんていう値は違うんだな、っていうのがわかる。





ところで、ここまで話してきてあれなんですけど



日本の人口、「1億3千万」ってのも、聞いたことないですか?


実際、日本の人口は、「大体1億3千万人」なんですよねw(記事投稿時現在)



じゃあ、「人口大体1億人」は間違いじゃないか!



…じつは、そういうことにはならないんですね。


1億3千万人でも、大体1億って言っちゃっていいんじゃないですか?まあ、若干まとめすぎな気もしますが、

大雑把に規模を知りたい時なんかはそれで十分。


ちっちゃい子供に「ニホンってどのくらい人いるのー?お父さんとお母さんとおじいちゃんとおばあちゃんとともちゃんとゆかちゃんとあたしで7人でしょ、あとピアノの先生とさっき道歩いてたおじちゃんと…」って聞かれたら


答えの精度は「ううん。もっとすごくたくさん住んでるんだよ。大体1億人くらいだよ。」で十分でしょう。まあ、その子が1億っていう数字を知ってるとしたらですけどw




つまり

最初に言った「大体1億」は、何を四捨五入したものかって考えると

「5千万人丁度〜1億4999万9999人」の範囲を指して「大体1億」っていうことだったんですね。



同様に、1億3千万は

1億2500万人丁度〜1億3499万9999人 を指してるんだと思います。

でも実は、「大体1億3千万」っていう言い方からは、そうとは限らなくて

1億2950万人丁度〜1億3049万9999人 を指してる可能性も残ってるんですよ。


もちろん、

1億2999万9995人〜1億3千万4人 を指してる可能性もある。

…いやまあありえないだろうけどさ。誤差4,5人以内なんて。
でも、「大体1億三千万」っていう言い方からは、その可能性も一応ね、あるっちゃある。



じゃあ、その辺の精度をちゃんとわかるようにするには、どうしたらいいのか


その答えが「有効数字の表し方」なんです!


日本の人口の例でいきますと

「1億2500万人丁度〜1億3499万9999人」っていう精度を表したかったら

1.3×108人 って書きます。「×」の左側にある、具体的に数値を表してる部分が2桁なので「有効数字2桁」といいます。

これに対して

「1億2950万丁度〜1億3049万9999人」っていう精度を表したかったら

1.30×108 って書きます。これは「有効数字3桁」です。


ちょっと数字が大きすぎてわかりにくいと思うので別の例をあげますと


あるライブの会場で、アーティストが

「今日は、俺らのライブ見に、600人も集まってくれて、どうもありがとう!」

とか言ったとしますよね


はたしてこの600人は正確に丁度600人だったのでしょうか?


これがもし、550〜649人っていう精度だった場合

有効数字1桁で
6×102人 って書くわけです。

595〜605人っていう精度だった時は

有効数字2桁で
6.0×102人 って書くわけです。


…わかりました?





まあライブでアーティストが舞台上で言った人数がどのくらい正確か、なんてことは割とどうでもいいかもしれませんが


これが物理や化学での、実験の測定値だった場合、どのくらい正確なのかはちゃんとわかってないと、困っちゃうわけですよ。



何気なく「0.8グラム」とか言われても、

・それが多少大雑把に0.85グラムくらいまで含んでるのか、
・0.8005グラムくらいまでしか含まない正確さを誇るのか、

ちゃんとわかってないと困る。

だから、前者の場合は、有効数字1桁で
8×10-1グラム

後者の場合は、有効数字3桁で
8.00×10-1グラム

っていうふうに書いて、どのくらい正確な値なのかを表すわけです!


ちなみにこの表し方

2.0×102って

別に 0.20×103 でも一緒の値を表してますね。

じゃあ、どっちでもいいのか!っていう話なんですが

基本的に、「×」の左側にある数字は、1以上10未満、っていうのが慣例になってます。

なので、2.0×102ってあらわすようにしましょう!この場合、有効数字2桁です。


ちなみにこれ、実は、0.20×103とあらわしても、精度は変わらないので有効数字2桁です。

頭にくっついてる0は、有効数字としてみなされないんです。

だって、それも有効数字とみなしちゃったら、

0.00020×106にすれば、有効数字6桁になっちゃう。でも、6桁分の精度になったわけじゃないですよね。

6桁分の精度にするためには、2.00000×102になってくれなきゃいけない。


なので、有効数字は、0以外の数字が最初にきたところから桁数を数え始めるようにしましょう。

以上!


〜今回のまとめ〜
数字がどのくらいの精度を持ってるのか、をあらわすために、有効数字の桁数がはっきりわかる表し方を使う。

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posted by 真田正大 at 23:59 | Comment(6) | TrackBack(0) | 物理全般
この記事へのコメント
これはいいですが、
(有効数字)
だが以前の(平均の速度)は頂けない。
物理学的にはあれでしょうが、算数や数理的試験の
問題では、平均の速度とか平均の時間は、分数の足し算を分母にして、また分子に数字を載せて計算しますあれの説明がないんです。


真田正大
ご期待に沿えず申し訳ありません。
a(m)の道をs(m/s)で進み、次にb(m)の道をt(m/s)で進み、次にc(m)の道をu(m/s)で進み・・・
としたときの、平均の速さは、
進んだ距離=a+b+c+… (m) を
かかった時間=(a/s)+(b/t)+(c/u)+… (s) で割って
(a+b+c+…)/{(a/s)+(b/t)+(c/u)+…} (m/s)
となります。
ある2点間を往復した場合、2点間の距離をa(m)、行きの速さをv(m/s)、帰りの速さをu(m/s)とすると、平均の速さは
(a+a)/{(a/v)+(a/u)}=2/{(1/v)+(1/u)} となります。
これらの式は、分数が多く含まれるために覚えにくく、また、結局は「進んだ距離」を「かかった時間」で割っているだけなので、公式として取り上げる必要はないと考え、紹介していません。実際、私はこれらの式を公式として学校で教わったことはありません。教科書の隅に、コラムとして少しとりあげられているだけでした。
しかし、このような「速さが途中で変化する場合」の問題に、単純に速さの平均をとって答えとする誤答がよくあるため、今回記事にそれについての説明を追加させていただきました。式そのものはとりあげていませんが、計算方法として述べていることは上にあげた式に相当する内容です。よろしければ、ご確認ください。
なお、学習指導要領の改変などにより、現在の教科書にこの式が公式として紹介されている場合には、このサイトで取り上げないわけにはいかないので、その点を調査したいと思っています。
ご指摘ありがとうございました。今後も当サイトをよろしくお願いします。
Posted by 村上 at 2009年06月25日 18:32
指数の表現がかなり見にくいです。
6.0×1023と6.0×1023(=6138)が区別できません。
なので
NA=6.0×10^(23)と表現した方が良心的かと思います。


真田正大
ご指摘ありがとうございます。
しかし、私の環境では「23」の部分は正しく指数として「10」の右上に小さな文字で表示されています。
PCから御アクセスの場合、InternetExplorer、firefox、GoogleChromeでは正しく表示されることが確認されています。
また、携帯電話から御アクセスの場合、機種によって異なる可能性があるので一概には言えませんが、携帯電話にはじめから搭載されているブラウザでは正しく表示されず、フルブラウザでは正しく表示されるという場合があります。
よろしければ、御使用のブラウザを教えていただけますでしょうか。
Posted by 太朗 at 2009年07月16日 21:43
有効数字で解答をするとき有効数字が2ケタの場合とか3ケタの場合があるのですがその場合どうやって有効数字のケタ数を決めていいかわかりません(>_<)


問題文の一番小さい有効数字にあわせるんでしたっけ?そこらへんがあまりよくわからないので教えて下さいm(_ _)m


真田正大
有効数字の桁数の決め方には規則があって、

足し算引き算→有効な位(くらい)を、一番大雑把な奴に合わせる
 例えば、1.0+0.02は1.02となりますが、1.0は十分の一の位、0.02は百分の一の位まで値を示していて、このうち大雑把なのは十分の一の位までしか示していない1.0のほうです。よって答えも、十分の一の位までを有効なものとして扱い、1.02ではなく1.0とします。0.02なんていう小さな数字は、1.0の大雑把さの前では埋もれてしまう、ってことです。

掛け算割り算→有効な桁数を、一番大雑把な奴に合わせる
 例えば、1.2×1.31は1.572となりますが、1.2は2桁分、1.31は3桁分を有効としていて、このうち大雑把なのは2桁分しか有効になってない1.2のほうです。よって桁数を2桁にあわせて、答えは1.572ではなく1.6となります。

この記事ではこの辺の計算規則を取り扱ってないので、それについての記事も書こうと思ってます。

・・・ただ、実際問題を解く場合、裏技として、
「有効数字の桁数を、問題文に出てくる数値のうち最も有効数字の桁数が小さい奴にあわせる」
というものがあります。これは数学的は正しくないんですが、割と正解します。つまり、問題文中の数字が全部3桁で書かれていたら3桁で答えて、2桁で書かれてるものがいくつかまざってたら答えは2桁に合わせる、というものです。知っていて損はないと思います。

なお、同一内容の書き込みが何故か3つ連続してなされていたので、うち二つを削除いたしました。ご了承ください。
Posted by 真田 at 2009年11月08日 12:08
基本情報の勉強でここにたどり着きました。
他のどのサイトよりもわかりやすかったです。
書き方、例など、会話風で難しい専門用語が無くす〜っと頭に入っていきました。
すばらしい!
ほんとうにありがとうございます。
初めて有効桁の意味がわかりました。
Posted by バナナキング at 2012年02月15日 01:04
もやもやしたことがいっこずつ、
じゃあこれは?ってなったことが次々に紹介されていて
私の頭としゃべってくれているようでした*
とってもわかりやすかったです。
ありがとうございました!
Posted by きりんくつした at 2012年07月12日 18:12
分かりやすいです!意味が分かりました。
でも黄色い文字が見づらい気がします
Posted by 虎虎 at 2014年02月08日 11:42
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