今回は、ベクトルの内積がそもそも何をあらわしているのか、ということを、なんとなくでいいから感覚的につかめるといいな、っていうことを目指した記事です。
この記事内では、内積の計算上の性質とかそういうアレについてはあんま触れませんー。
内積習うとき、「こういうもんなんだよ！とりあえず覚えろ！」みたいな教え方されることが多いと思うので、今回はそれでは納得できない人向けに記事を書こうと思いまして。
んさて。
内積の定義を思い出してみましょう。
3Dabcos.gif){kind=small}
このcosθってなんなんでしょうね。θは二つのベクトルがなす角、っていうことですがー
まずは数直線を考えてみましょう。
a=1 b=2
a=3 b=-2
この二つを例にあげるとー
ね
原点Ｏを中心に、正の数は右、負の数は左側にのびています。
ここで注目すべきポイントは、赤い矢印と青い矢印が平行になっているということです。
さてさてさて。
次へ進みます
a=1 b=2を例にあげて進めることにするとー
試しに絶対値の掛け算
|a||b|を計算してみます。
１×２で、ａｂを普通に計算したときと同じですね。
次にa=3 b=-2を例にあげて進めることにしますよー
まず、単純にa・bを計算します。掛け算するだけ、-6です。
しかし、これは|a||b|＝３・２＝６には一致しません。
符号が逆になってます。-１倍になってます。
ここでもう一度この図を見てください。
で、赤い矢印をaベクトル
青い矢印をｂベクトルだと思ってください。
で、この二つのベクトルの内積を考えてみてください！
何が言いたいか、わかっていただけました？
上の数直線では、→と→、この二つのベクトルのなす角は０度です。
なのでθ＝０、cosθ＝１
内積は|a||b|cosθ＝１×２×１＝２
下の数直線では
←→
この二つのベクトルのなす角θは180度です。
なのでcosθ=-1
aベクトルの大きさは３、ｂベクトルの大きさは２です。
これを内積の式に代入すると
３×２×（−１）
-6ということになるわけです！！
ね。なんとなく内積が普通の掛け算と似たような感じっていう雰囲気だけどことなく受け取ってもらえたりとかそんな風なようになっていただけました？
要するに何が言いたいかっていうと
二つの「平行な」ベクトルの内積は、そこに数直線を重ねると、ただの数字の掛け算と同じになる。
平行なベクトル同士なら掛け算できる、ってことです。
さて、ここまでダラダラと説明してきましたが
いよいよ本題、平行でないベクトル同士の掛け算について考えます。
平行なら、掛け算することができる。
平行じゃないときは、どうすればいいのか。
答えはこうです。
平行な方向を向いてる成分を取り出せばいい！
ここで、ベクトルは分解できる、ということを思い出してください。
aベクトルとｂベクトルの内積を考えるとき、
ｂベクトルを、aベクトルと平行な成分と、平行じゃない成分に分解するんです。
そうすると、「平行じゃない成分」というのは、同じ方向、と、真逆の方向、のどちらを向いていてもだめなので、その両方から一番遠い向き、つまり、直角の向きを指すことになります。
要するに下の図のようなことを考えるわけです。
どうですか！
ベクトルの内積っていうのは、平行な成分をとりだして掛け算するっていうことなんですよ！
反対側を向いてるときは平行な成分は数直線の反対側にくるので掛け算するとマイナスになるし
平行な成分がない、つまり垂直なときは内積は０になります。
もちろん、ｂベクトルの代わりにaベクトルを分解しても同じです。
違う方向を向いてるものは掛け算することができない。
そこで、平行な成分を取り出すことによって、掛け算を可能にしたわけです！
〜今回のまとめ〜
ベクトルの内積とは、平行な成分をとりだして掛け算したもの。
前提記事：ベクトルとは何か・ベクトルの足し算
・数学目次へ ・化学目次へ ・物理目次へ ・文系科目目次へ
========================================
ご意見、ご感想、文句、ご指摘、相互リンクの申し込み等
遠慮なくコメントやメールでどうぞ！
メールアドレスは右のバーの上のほうにあります。
他の記事へはトップページかサイドバーの目次からどうぞ。
トップページはこちら。
このサイトについて
========================================
以前、平均の速度は頂けせんでしたが！
真田正大
ありがとうございます！
平均の速度の記事では、ご期待に沿えず申し訳ありませんでした。記事、コメントをいくらか修正しておいたのですが、いかがでしょうか。