2009年05月17日

対数の約束事、指数関数の逆関数としての対数


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前提記事:対数の記号log

今回は対数の約束事についての勉強です。



まずは対数がなんだったかについて確認します。logaM の成り立ちはー

anologjouham.gif

こういうことでした。底(てい)のlog乗が真数ね。


さてこれに従うと、底a真数Mには、とることのできない値があることが、わかります。

a=−2のときを考えてみるとー

-2の2乗は?4ですね。

-2の3乗は?-8ですね。

では、-2の2.5乗は・・・?

2の2.5乗なら、4と8の間にきそうなものですが、

-2の2.5乗は、マイナスをどう処理していいのかがわからない


次に、a=1やa=0のときを考えてみましょう。

・・・1は何乗しても1です。

anologjouham.gif

そうすると、真数Mは1にならざるをえなくなってしまいます。
M=2のとき、log2という値はありえない。ということになる。

0も、何乗しても0なので、1のときと同じことが言えます。
log02はありえない


さらに次。

M=−2のときを考えてみましょう。

例えば、底aが2のとき、log2(-2)はどういう値になるでしょうか?

anologjouham.gif


そうですね。正の数は、何乗しても正の数です。−2にはなりえません。

つまり、log2(-2)はありえない

また、真数Mが0のとき、底、つまり何乗かして0になる数は0でしかありえないので
log20はありえない



つまり何が言いたいかというと
・底aが0以下のとき
・底aが1のとき
・真数Mが0以下のとき

これらのとき、困るパターンが生じてしまうということです。

んー。じゃあ困るパターンが生じないように決めちゃえばいいんじゃね?ということで


底は1以外の正の数
真数は正の数


と、いうことになります。約束事です。


では底が0と1の間の数のときは、困るパターンは生じないのか?

大丈夫です。

例えば、底が0.5(つまり2分の1)のときを考えてみるとー。

log0.54という値は存在するのか?


存在します。答えは-2です。

指数の性質を思い出して。 
0.5-2は、0.5の逆数の2乗です。
0.5(2分の1)の逆数は2なので、その2乗は4。

ということで、底は1以外の正の数であれば大丈夫なのです。

また、今の例のように、logは負の数になることもあるんです。



じゃあ、logが0になることもあるのか?

あります。


答えから言うと、真数Mが1のとき、底aに関係なくlogは0になります。
指数の性質を思い出して。何かの0乗は、1なわけですよ。

anologjouham.gif

loga1=0 なわけ。半ば公式みたいなもんです。


・・・
てかね、ぶっちゃけね、上の「底は1以外の正の数」っていう奴、指数のところで出てきた奴とまったく同じなんだよねw

なのでまあ、とにかく注意するべきなのは「真数は正」っていうところ。

テストでも、「真数は正」を使ってガンガンひっかけようとしてくるから、気をつけてください。

解答の最初に「真数は正なので」っていう書き出しになることがよくあります。

・・・

さて。

ここまでこうして書いてきましたが、違う角度からの説明も用意します。


「指数関数の逆関数」という視点から、まあ、割と大雑把に説明します(笑

指数関数や逆関数については別の記事で。


まず指数関数のグラフは、下のようなものでした。

y=a^x,y=a^-x.gif

とりあえず今は、左側、y=axに注目。

この式の、逆関数を考えるとー。

逆関数なので、xとyを入れ替えます

すると、x=ay

さて。aのy乗がxという形になりました。

これをy=○○の形にするために、「底の対数乗は真数」にしたがって書き換えます。

底はa、対数はy、真数はxということになるので

y=logax ということになります。

つまり、指数関数の逆関数が、対数関数である、ということなんですねー。


で、逆関数の性質を思い出してください。

ある関数と、その逆関数のグラフは、直線y=xについて対称です。

ということは。指数関数のグラフから、対数関数のグラフなんて簡単に書けてしまうということなんですよ!

a^x to logx.gif

これが対数のグラフです。

どうですか。真数xが正の数であることが、一目瞭然です。

また上で述べたように、「底は1以外の正の数」ってのが、指数関数のときとまったく一緒の奴が成り立つのはなぜかっていう話も、なんとなくわかっていただけたんじゃないかと。

結局ね、その辺の性質は指数関数と一緒なんですよ。


さらに言うと、指数関数の不等式をとくときにでてきた、

底が1より小さいときは不等号の向きが逆になる

っていう性質も、そっくりそのまま言えたりします




・・

さて、今回の記事はここまでですが、一つ注意喚起をしておきます。

「真数は正」で減点されることが本当に多いので、気をつけてください。

例えば、log2(x-1)+log2(x-2)>4 っていう問題は、完全にそれでひっかけようとしています。

まず最初に「真数は正なので、 x-1>0 , x-2>0 つまり x>2」

と書くことを忘れないようにしてくださいね。


〜今回のまとめ〜
底は1以外の正の数
真数は正
対数関数は指数関数の逆関数

前提記事:対数の記号log

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posted by 真田正大 at 17:53 | Comment(1) | TrackBack(0) | 指数関数、対数関数
この記事へのコメント
そろそろ統計学をお願いします。

真田正大
対応が遅れており申し訳ありません。
もうしばらくお待ちください。
Posted by 村上 フクゾウ at 2010年06月19日 22:24
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