対数の約束事、指数関数の逆関数としての対数

前提記事：対数の記号log

今回は対数の約束事についての勉強です。



まずは対数がなんだったかについて確認します。log_aM の成り立ちはー



こういうことでした。底(てい)のlog乗が真数ね。


さてこれに従うと、底ａと真数Ｍには、とることのできない値があることが、わかります。

ａ＝−２のときを考えてみるとー

-２の２乗は？４ですね。

-２の３乗は？-８ですね。

では、-2の2.5乗は・・・？

２の2.5乗なら、４と８の間にきそうなものですが、

-2の2.5乗は、マイナスをどう処理していいのかがわからない。


次に、a＝１やa＝０のときを考えてみましょう。

・・・１は何乗しても１です。



そうすると、真数Ｍは１にならざるをえなくなってしまいます。
Ｍ＝２のとき、log_１２という値はありえない。ということになる。

０も、何乗しても０なので、１のときと同じことが言えます。
log₀2はありえない。


さらに次。

Ｍ＝−２のときを考えてみましょう。

例えば、底aが２のとき、log₂(-2)はどういう値になるでしょうか？




そうですね。正の数は、何乗しても正の数です。−２にはなりえません。

つまり、log₂(-2)はありえない。

また、真数Ｍが０のとき、底、つまり何乗かして０になる数は０でしかありえないので
log₂0はありえない。



つまり何が言いたいかというと
・底ａが０以下のとき
・底ａが１のとき
・真数Ｍが０以下のとき

これらのとき、困るパターンが生じてしまうということです。

んー。じゃあ困るパターンが生じないように決めちゃえばいいんじゃね？ということで


底は１以外の正の数
真数は正の数

と、いうことになります。約束事です。


では底が０と１の間の数のときは、困るパターンは生じないのか？

大丈夫です。

例えば、底が0.5（つまり2分の1）のときを考えてみるとー。

log_0.54という値は存在するのか？


存在します。答えは-2です。

指数の性質を思い出して。　
0.5^-2は、0.5の逆数の2乗です。
0.５(2分の1)の逆数は２なので、その2乗は４。

ということで、底は1以外の正の数であれば大丈夫なのです。

また、今の例のように、logは負の数になることもあるんです。



じゃあ、logが０になることもあるのか？

あります。


答えから言うと、真数Ｍが１のとき、底ａに関係なくlogは０になります。
指数の性質を思い出して。何かの０乗は、１なわけですよ。



log_a1=0　なわけ。半ば公式みたいなもんです。


・・・
てかね、ぶっちゃけね、上の「底は1以外の正の数」っていう奴、指数のところで出てきた奴とまったく同じなんだよねｗ

なのでまあ、とにかく注意するべきなのは「真数は正」っていうところ。

テストでも、「真数は正」を使ってガンガンひっかけようとしてくるから、気をつけてください。

解答の最初に「真数は正なので」っていう書き出しになることがよくあります。

・・・

さて。

ここまでこうして書いてきましたが、違う角度からの説明も用意します。


「指数関数の逆関数」という視点から、まあ、割と大雑把に説明します(笑

指数関数や逆関数については別の記事で。


まず指数関数のグラフは、下のようなものでした。



とりあえず今は、左側、y=a^xに注目。

この式の、逆関数を考えるとー。

逆関数なので、ｘとｙを入れ替えます。

すると、ｘ＝ａ^y

さて。aのｙ乗がｘという形になりました。

これをｙ＝○○の形にするために、「底の対数乗は真数」にしたがって書き換えます。

底はa、対数はｙ、真数はｘということになるので

y=log_ax　ということになります。

つまり、指数関数の逆関数が、対数関数である、ということなんですねー。


で、逆関数の性質を思い出してください。

ある関数と、その逆関数のグラフは、直線ｙ＝ｘについて対称です。

ということは。指数関数のグラフから、対数関数のグラフなんて簡単に書けてしまうということなんですよ！



これが対数のグラフです。

どうですか。真数ｘが正の数であることが、一目瞭然です。

また上で述べたように、「底は1以外の正の数」ってのが、指数関数のときとまったく一緒の奴が成り立つのはなぜかっていう話も、なんとなくわかっていただけたんじゃないかと。

結局ね、その辺の性質は指数関数と一緒なんですよ。


さらに言うと、指数関数の不等式をとくときにでてきた、

底が１より小さいときは不等号の向きが逆になる

っていう性質も、そっくりそのまま言えたりします。



・・

さて、今回の記事はここまでですが、一つ注意喚起をしておきます。

「真数は正」で減点されることが本当に多いので、気をつけてください。

例えば、log₂(x-1)＋log₂(x-2)>4 っていう問題は、完全にそれでひっかけようとしています。

まず最初に「真数は正なので、 x-1>0 , x-2>0　つまり　x>2」

と書くことを忘れないようにしてくださいね。


〜今回のまとめ〜
底は1以外の正の数
真数は正
対数関数は指数関数の逆関数

前提記事：対数の記号log

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