今回は、必要条件、十分条件について勉強して！


必要条件とか十分条件とか意味わかんないんだけど、という方も多いんじゃないかと思います


「いや、簡単だろ。矢印が左向いてりゃ必要、右向いてりゃ十分なんだよ。順番的にひっくり返ってる感じな。」って覚えてる方もいるんじゃないかと思います。





butしかし今回は。



なんで矢印が左向いてると「必要」になって、右向いてると「十分」なんだよ、と。



その辺のことをみていこうと思います。


ずばり言いますよ


必要条件とは、必要な条件のことで

十分条件とは、十分な条件のことである！！！！！




…えー、元も子もないですね。でも実は本当にこれだけなんです。


ちょっとわかりやすくするために、「条件」という言葉は「縛り（しばり）」ということで置き換えられる、ということを言っておきます。


もちろん、正しい数学用語ではないのでテストで書くと良くないですが、理解しやすくなるかと。


ではまず。


犬⇒動物

これは間違いないですよね。ロドリゲスが犬ならば、ロドリゲスは動物である。


矢印の向きで考えると、右向きなので

「犬であることは、動物であるための十分条件」ということになります。
言い換えると、「ロドリゲスが犬である、という縛り（しばり）は、ロドリゲスが動物であるためには十分な縛り」ということ。


…。


「犬であることは、動物であるための十分な縛り」って、なんとなくしっくりきません？



犬である、というだけで、動物であるためには十分ですよね。犬なんだから、そりゃ動物でしょうよ、っていう話。



じゃあ、犬であることは、動物であるための必要条件かどうかを考えてみる。

犬であるという縛りは、動物であるために、必要な縛りなのかどうか。


…これ、必要ないんですよね。犬にまで縛らなくても、猫でも馬でもアルパカでもいいわけで。


ということは、犬であることは、動物であるための必要条件ではない、ということです。

なので、犬であることは、動物であるための必要十分条件でもない。

必要十分条件とは、必要条件でなおかつ十分条件であるような奴のことだからね。



これを、数学っぽい話にすりかえてみましょう。


x＝１であることは、x²=1であるための…

…さて、何？


x＝１という条件は、x²＝１であるために、必要なのか、必要ないのか、十分なのか、不十分なのか。


どうでしょう。


見えてきました？


x＝１という条件は、x²=1が成り立つために、十分な縛りです！

何故なら。x＝１という条件（縛り）があれば、それだけでx²=1だからです！！



では、x＝１という縛りは、x²=1であるために必要なしばりなのか？


…。


そこまでの縛りは必要ないですよね。

x＝−１でもいいんだから、x＝１に縛る必要はない。


つまり、x²=1　であるためには、x＝１という縛りは、縛り過ぎなんですよ。


縛り過ぎ＝そこまでの縛りは必要ない　ということなので


x＝１は、x²=1であるための必要条件ではないです。



ということで！


つまり、十分条件とは、それだけあれば十分な条件、ということです。
ただし、十分な条件ということは、十分に縛っているということなので、縛りすぎている可能性があります。




ではまた最初の例に戻って、別のことを考えてみましょう。



動物であることは、犬であるための…さて何？




犬であるためには、動物である、という縛りだけで果たして十分なのかどうか。



…不十分ですよね。動物であるからといって、それが犬とは限らない。ライオンかもしれないしハシビロコウかもしれない。


なので、動物である、という条件は、犬であるための十分条件ではないです。

「それだけあれば十分な条件（縛り）」になってない。



…では次。



動物であるという縛りは、犬であるためには必要な縛りなのかどうか。



…実はここで、日本語で普通に使う「必要」と、「必要条件」という時の「必要」の、ニュアンスの違いが出てくるんですよ。


「十分」のほうは日本語とあんま変わらない感じで使えるんですけどね。



つまり。


動物であるという縛りは、犬であるために必要な縛りなのかどうか、って聞かれたときに


「ほ乳類である、という縛りがあれば、動物であるという縛りは必要ない！！だから動物であるという条件は、犬であるための必要な縛りではない！！」



という話になってしまう。



「ほ乳類である、という条件があれば、動物であるという条件は必要ない。だから動物であるという条件は、犬であるために必要な条件ではない。」



なんとなくそれっぽいですが…



次を見てください。


「動物である」という縛りがない＝動物でなくてよい



これも、しっくりきますよね？


「動物である」という縛りがないってことは、その縛りから解放されたわけだから、動物でなくてよい。



ではもう一度

「ほ乳類である、という条件があれば、動物であるという条件は必要ない。だから動物であるという条件は、犬であるために必要な条件ではない。」



そうはいかないんですよ。

「動物である」という条件がないと、動物でなくてもいいということになります。


犬であるためには、動物でなくてもいい…？


そんなわけないです。


なので、犬であるためには、動物であることは必要な縛り（必要条件）なんです。



じゃあ「ほ乳類であること」は？


犬であるために、ほ乳類であることは必要かどうか考えてみましょう。

今「動物でなくてもいいかどうか」を考えたのと同じように、「ほ乳類でなくてもいいかどうか」を考えてみると、わかりやすいです。



ほ乳類でなくていいわけないですね。ということで、「ほ乳類であること」は「犬である」ための必要条件です。


ということは逆に「犬である」ことは「ほ乳類である」ための十分条件ですよね。そこは大丈夫ですか？



と、いうことはですよ。

数学的に厳密ではないですが、例として



Ａ君が「今からちょっとずつヒントだしてくから、俺が今考えてるもの当ててみ。」なんて言いながら出すヒント


「漫画のキャラクター」
「全体的に青い」
「２２世紀生まれ」
「２１１２年９月３日生まれ」
「猫型ロボット」
「小学生と同居してる」
「耳がない」
「…


といったヒントは、すべてこれ「必要条件」なんですよ！！


ヒントを出すごとに、ちょっとずつ縛って可能性を絞り込んでいってるイメージね。


例えば「２２世紀生まれ」は「ド○えもん」であるために必要な条件かどうか。

ド○えもんであるためには、２２世紀生まれでなくてもいいかどうかを考える。


…ド○えもんであるためには、２２世紀生まれじゃなきゃだめですよね。

つまり２２世紀生まれである「必要がある」ということです。


「いやでも生まれたばっかのドラえもんは全体的に黄色いし耳あるし小学生と同居してないし！！！」

…そうですね。すいません。「数学的に厳密ではない」って言ったのはそこです。逃げ道がある。

そういう逃げ道があるものは、本当は「必要条件」ではありません。



…ですが、言いたいことは伝わったはず…！！


逆に、ドラえもんであることは、２２世紀生まれであるための十分条件です。



さて。

では数学的な話に戻ってみましょう。



x²=1 は　x=1であるための…


さて、何？



x²=1は、x=1であるために十分な条件か。


それだけで十分な条件になってい…


…ないですよね。



x＝１という可能性があります。縛り足りないってことです。十分に縛るにはもうちょっと縛らないといけない。



では。必要かどうかを考えてみましょう。

x²=1であることは、x=1であるために必要な条件かどうか。


x＝１であるためには、x²=1でなくてもいいかどうか。


…だめですよ。x²は１じゃないと。


つまり、x²=1 は x=1 であるための必要条件ってことになります。


矢印使うと
x=1⇒x²=1　ってことね。


…どうですか。


必要条件、十分条件っていう言葉は、ちゃんと意味的にもわかる言葉なんですよ。


…ただ、ここまで必要条件十分条件それぞれについて見分ける方法を説明してきましたが


aがbの必要条件なら、bはaの十分条件なんですよね。

逆にbがaの十分条件なら、aはbの必要条件。

つまり、どっちかが十分条件（必要条件）ってわかれば、その逆は必要条件（十分条件）って一発でわかる、ってことです。

なので、考えててわかりにくくなった場合は、これ使うと簡単になることがあるので、積極的に逆向きを考えてみましょうってことです！




ではいくつか例をあげてこの記事を終えておきましょう。

例１

x²-3x+2=0　は　x=1またはx＝２ であるための



…さて、何？




x²-3x+2=0をとくと、x=1またはx＝２という答えになります。

ということは、x²-3x+2=0であることは、x＝１またはx＝２であるために、十分な縛りになってます。

x²-3x+2=0にまで縛れば、あとは勝手にx＝１or２になってくれるわけですから。十分な縛りなわけ。


では、x²-3x+2=0は、x=1or2であるために、必要な縛り？


別になくてもいいんじゃないの？


じゃあ

x=1or2であるためには、x²-3x+2=0でなくてもいい…？


これ、ダメです。x＝１のときもx＝２のときも、x²-3x+2は自動的に０に確定するので

x²-3x+2は０以外あり得ないです。

ということは、x²-3x+2=0は、x＝１またはx＝２であるために、必要な縛り、ということになります。


以上より。

x²-3x+2=0は、x=1またはx=2であるための、必要十分条件！！


方程式の解っていうのは、必要十分条件を求めてるんですよ。知ってましたか？

x²-3x+2=0⇔x=1または2



では次。

例２


ab＞0 であることは、a＞0 であるための


…


…さて、何？




ab>0って、それだけでa>0であるための十分な縛りになってる？


…なってませんよ。


aが負になってた場合でも、bが負ならab>0になっちゃいますからね。

縛り足りない、ってことです。十分条件ではない。


じゃあ、ab>0は、a>0であるために必要？


a>0であるためには、ab>0でなくてもいい…？



…ab>0でなくてもいい。うん。そう。そうじゃなくていい。


bが負の場合を考えてみると。

ab<0のときでも、a>0は達成できます。


つまりそんな縛りは必要ないってことです。必要条件ではない。


結論
ab>0であることはa>0であるための、必要条件でも十分条件でもない。





〜今回のまとめ〜

必要条件は、そうでないと困る、っていう縛り
十分条件は、それだけあれば十分、っていう縛り

必要条件だと縛り足りないことがあるし
十分条件は縛りすぎてることがある。

「aがbの必要条件」⇔「bがaの十分条件」

今回は因数分解を勉強しましょう！

そもそも因数分解ってなんなのか。

中学校で勉強しました。

因数分解とは、かけ算の形に直すことです。


例えば、２４を３×８の形に直すのも因数分解だし

x²+x を x(x+1) の形に直すのも因数分解。
ちゃんとxと(x+1)のかけ算の形になってるb


ところで。３×８はまださらに因数分解できますよね。

最終的には３×２³　までいく。


こうやって、最終的に素数の積の形まで直すことを素因数分解っていいます。ね。

で。


今回この記事で扱うのは、素因数分解と比べてかなり面倒くさいといわれる、式の因数分解のほうです。



共通因数をくくりだす、ってのはまだいいよ

a²+2ab+b²=(a+b)²だの
a²-b²=(a+b)(a-b)だのあるし
x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)とか
acx²+(ad+bc)x+bd=(ax+c)(cx+d)とかなってくるともうめんどくさくてしょうがないし
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)だとか
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)だとかもう覚えらんないよ！！


っていう感じになってる人もいるんじゃないかと思います。

っつーか、そもそもなんで因数分解なんてしなきゃいけないのか。

しかも、かけ算を計算して展開するときは機械的にやればいいのに、因数分解の時は共通因数くくるだの最低字数の文字について整理するだのたすき掛けをやるだのうまい組み合わせ方を探すだの
なんか、あてずっぽうじゃない？

なんで展開は機械的にやればいいのに、因数分解は試しにやってみろ作戦しかないのよ。




なんで因数分解をしなきゃいけないのか。これは、方程式を解くのに使うんですね。

方程式の項を全部左辺に持ってきて、「＝０」の形にする。で、左辺を因数分解すると、どれかの因数が０になるはずで・・・　っつって解く。

x²=-x+2 を解こうと思ったら
x²+x-2 = 0 の形にして
(x-1)(x+2)=0 って因数分解すると、x=1,-2が解だとわかる。



じゃあ、展開は単純作業なのに、因数分解はいろいろ試してみなくちゃいけないのはどうなのよ。因数分解もなんかストレートな方法があるんじゃないの？？


実はこれが、因数分解のポイントなんですよ！



ここでもう一度、数字の因数分解を考えてみます。



５７２３を因数分解してみてください。暗算でちょろっとやってみて。


…

難しい？じゃあ電卓使ってもいいですよ。手元に携帯があればそれについてるはず。



･･･


…難しいでしょ。




２で割れるかどうか、３で割れるかどうか、５なら、７なら…　っつって、割り切れるかどうか試してみるしかない。




じゃあ今度は５９×９７を計算してみて。暗算でちょろっと…　いや、２桁のかけ算は正直私も暗算自身ないので筆算か、手元の携帯に付属の電卓を使っちゃいますが…



答えは５７２３です。


じゃあ、５７２３を因数分解してみてください。



・・・



楽勝です。５９×９７です。


つまり何が言いたいかっていうと、文字の時だけじゃなく、数字の時も、かけ算の計算は簡単だが因数分解は難しい！ってことなんですよ


かけ算の計算は簡単だけど、その計算結果だけ見せられた場合、因数分解して元に戻すのは難しい。


このことを利用して、情報通信の暗号に素因数分解が使われてたりします。すごいね。


かけ算を計算するのは一直線にやれるけど、因数分解はあれこれ試しながら行っては戻り行っては戻りってやってかなきゃいけない。


このことが、そのまま文字の式でも言えるんですね。





つまり結論。


あれこれ試行錯誤したりせずにストレートに因数分解をこなす方法は・・・



ない！！！！




ということでいつも通りに次数の低い文字でまとめたり組み合わせ考えたりたすき掛けやってみたりいろいろがんばってみてくれ！！！！！





以上！！





…ひどい終わり方ですね。


一応ね、限られた場合についてですが、あるっちゃあるんですよ、機械的に因数分解する方法、ってのが。限られた場合だけだけど。

なんかしらの式を、共通因数くくりだしたり、次数の低い文字について降べきの順に整理したりして

最終的に　

Ax² + Bx + C

っていう形になったとします。A、B、C、ｘは、どれも(a+2b)みたいな文字の式になっててもおk。


で、ここまで持ってくればもう勝ったも同然で、たすき掛けも何もやらずに、これの因数分解は

Ax² + Bx + C =



ってわかります。これが、答え。


展開・計算をすれば、これが正しいことはわかる。


√　の中が負になったときは、「ああ、これ以上因数分解できない奴だったんだな。」って思っとけばおk。複素数の範囲で考えてる時は√　の中が負でもおk。


なんで解の公式が？って思った人のために、それっぽい解説をつけて、この記事を終わりたいと思います。


�@Ax² + Bx + C = 0 っていう方程式を、試しに考えてみるんですよ。

これの因数分解がA(x-α)(x-β)って仮定すると、方程式�@は

A(x-α)(x-β)=0　って変形できるので、方程式�@の解は

x=α,β

ところで、方程式�@の解は、解の公式より 　

x = {-B±√(B²-4AC)} / 2A 　なので

これがα、βに等しい。


よって、Ax² + Bx + C の因数分解は




ね。２次式の因数分解なら、この式にぶち込めば必ず答えがでます。ただし実数の世界で考えてる時は、√　の中が負になったら「これ以上因数分解できなかったのか」って考えてください。



…ただこれ、慣れてくると、たすき掛けのほうが速かったりする場合もあるので、どの程度使い物になるかはみなさん試してみて判断してみてください。。。



〜今回のまとめ〜

かけ算の計算（展開）は規則的にできるのに対して
その逆操作である因数分解は、規則的にはできない。